点击勒洛三角形

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生活中，数学的影子随处可见。

一、　大师也困惑

有一青年郁郁不乐，向禅师请教：“大师，在单位里同事总嫌我棱角太突出，不合群！”禅师不语，掏出数根圆柱铺在地上，在上面搁了一块木板，并推动它，曰：“你看，轮子合作一致才能保持所承载木板的平稳前进，你能找到棱角突出的形状也让木板平稳前进吗？”

图1青年略一沉吟，默默地掏出一个勒洛三角形，用它来搬运东西，不会发生上下抖动。

这下轮到大师也郁闷了。

其实大师完全没有必要太郁闷，碰到同样问题的不仅仅是他一个。

历史上，美国国家航空航天局曾这样发射火箭：先在工厂完成推进器的组装，然后运至肯尼迪航天中心进行整体吊装，最后点火发射。但工程师发现一个问题，在运抵总装车间之前，推进器需要横躺着跋涉数千千米，由于其本身的巨大质量，有可能会发生变形。对于液体燃料火箭来说，轻微的变形也可能导致燃料泄漏造成发射事故。为了检验火箭截面是否是正圆，　技术人员们提出了一个标准，每隔　60°测量一次火箭的直径（该方向上界面内两点距离的最大值），如果3次测得的直径都相等，那火箭的截面即使不是标准的圆形也差不多了。这个方案真的靠谱么？大师的困惑也应验了工程师们的困惑。

二、　神秘三角形

要想解释这个问题，还得从几何中的定宽曲线的曲线一族谈起。定宽曲线是这样的一种几何图形，它们在任何方向上的直径（或称宽度）都是定值。显然，圆是一种最常见的定宽曲线，可定宽曲线可远远不止这么一种，其中最具有代表性的当属勒洛三角形。

勒洛（1829～1905），德国机械工程专家，机构运动学的创始人。勒洛的父亲是技术人员，他从小就受到技术的教育和熏陶，所著的《理论运动学》对机械元件的运动过程进行了系统的分析，成为机械工程方面的名著。

图2勒洛三角形，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形。勒洛三角形和它的定宽曲线兄弟们都具有许多有趣的特性，其中最重要的当然就是它们的定宽性。

图3我们不妨动手做个实验。把一硬纸卡片剪出一个如图2所画的定宽曲线的样子，而用另一硬纸卡片剪下一个正方形的洞。如果正方形的边长等于曲线的宽度，那么不管方向怎样变化，它正好合适地装入这个曲线板，并且这个定宽曲线板可以在正方形内紧密无间地自由转动。更为神奇的是，任何定宽曲线都可以在边长等于曲线宽度的正方形内紧密无间地自由转动；反之，可以在正方形内紧密无间地自由转动的曲线也是定宽曲线。

用定宽曲线做横断面的滚子，也能使载重物水平地移动，而不至于上下颠簸。难怪禅师和工程师们要大跌眼镜了。

三、　应用见风采

数学之所以重要，不仅因为它是科学理论的基石，还因为数学在日常生活、工业制造甚至是艺术品审美上都有着非常广泛的应用和体现。

图4应用定宽曲线的原理，可以制造出许多有趣的物品。例如我国发明爱好者设计的利用定宽曲线轮的角轮自行车。

或许有人会说“角轮自行车”是观赏性大于实用性的玩具。那不妨让我们再来看看定宽曲线在汽车工业上的应用。当然，我们不会用定宽曲线制造轮子，而是用在了更核心的部分——发动机里。图5就是马自达公司的转子发动机截面图。其实转子发动机并不是什么新鲜发明，早在　20　世纪　50　年代德国工程师汪克尔就制造出了第一台转子发动机的样机。

图5熟悉汽车的同学可能已经注意到了转子发动机与其他发动机的不同之处，它没有活塞和曲杆。没错，这些麻烦的东西已经完全不需要了，取而代之的是一个转子。转子的截面是面积最小的定宽曲线勒洛三角形，无论转子转到什么角度，都严格地将汽缸分成三部分，同时进行进气、压缩、点火与排气的周期，当转子转过一周时可以做功三次，效率远高于旋转两周才做功一次的传统四冲程活塞发动机。转子发动机具有体积更小、振动与噪音更低、结构简单、故障率低等优点。但转子发动机对材料和工艺的要求也更高，所以目前采用转子发动机的汽车还并不多。或许有一天，技术条件成熟的时候，大街小巷跑的全是采用转子发动机的汽车。

此外，一种基于勒洛三角形的变体的设备，它能钻出方孔来，其“方度”非常之好。

勒洛三角形的应用中，同样不乏东方智慧。我国古代璇玑就类似勒洛三角形，其可在正方形内无晃动旋转，对应天圆地方思想的密切结合和统一，另外其三个外周点连接可形成等边三角形。古人可能在以这样一个玉器向后人传达某种高深的知识：圆道成方，方圆不二。

小小勒洛三角形，蕴藏大乾坤。感叹数学应用无处不在的同时，我们分明清晰体会到了其中浓烈的数学文化的韵味。　【编者按】　谷超豪（1926～2012），浙江温州人，1948年毕业于浙江大学，1959年获苏联莫斯科大学物理数学科学博士学位，复旦大学教授，1980年当选为中国科学院院士（学部委员）。

主要从事偏微分方程、微分几何、数学物理等方面的研究和教学工作。他首次提出了高维、高阶混合型方程的系统理论，在超音速绕流的数学问题、规范场的数学结构、波映照和高维时空的孤立子的研究中取得了重要的突破。

这么一位著名的数学家、教育家，国家最高科学技术奖获得者，中国科学院院士，因病医治无效，于2012年6月24日凌晨1时08分在上海逝世，享年87岁。

先生虽然已经离开了我们，但是作为其遗留的点点滴滴，莫不鼓舞着后人奋勇向前。