从N(0,1)的概率函数Φ(x)到N(μ,σ2)的概率函数的F(x)=Φ(x-μ)/σ“初等”证明

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高中数学教材里“正态分布”内容是理科数学教学大纲内容，也是高考考纲内容。如何从N(0,1)的概率函数Φ(x)到N(μ,σ2)的概率函数F(x)=Φx-μσ，教材中没有证明，大学里是用积分方法证明的。而积分就本质上来说，就是“分割•求和•取极限”的“初等”方法。因此下面我就用这种方法对正态分布的概率函数如何从N（0，1）的Φ（x）到N(μ,σ2)的F(x)=Φx-μσ作一个简单的“初等”证明。下面分四个步骤进行证明(其中1，2，3步属过渡性证明，相当于定理的引理部分)。

1. 矩形的伸缩变换

图形：长变为m倍宽变为k倍

面积ab ma•kb=mkab

2. 积分方法展示

(1) 分割：将区间［a,b］进行n等分，把y=f(x)在x∈［a,b］与x轴围成的图形分割成如图所示的n个部分，然后作n个小矩形，如图所示

(2) 求和：设各个小矩形面积依次为S1，S2，…,Sn，则

S1=b-anf(a),S2=b-anf(x1),……,Sn=b-anf(xn-1)

(3) 取极限：设如图大曲边梯形面积为S，则

S=limn∞（S1+S2+…+Sn）

3. 一般图形的伸缩变换及应用举例

(1) 因为当时y=f(x)横标变为k倍纵标变为m倍ym=fxk时，上述S1，S2，…，Sn的长都变为k倍，宽都变为m倍，所以y=f(x),x∈［a,b］，x∈［ka,kb］和x轴围成图形的面积S变换成ym=fxk和x轴围成图形面积S′=kmS。如图所示：

横标k倍纵标m倍

(2) 菱形

｜x｜+｜y｜=1横标3倍纵标4倍｜x｜3+｜y｜4=1

右移1下移2｜x-1｜3+｜x+2｜4=1

内部面积：12×2×2=2

12×（2×3）×（2×4）=12 12×6×8=12

(3) 圆：x2+y2=1横标a倍纵标b倍椭圆：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0且a≠b)

内部面积：πabπ

(4) y=12π e-x22横标σ倍纵标1σ倍

y=12πσe-x22σ2横移μ个单位y=12πσ e-(x-μ)22σ2

下方面积：1σ•1σ•1=11

注：下方面积指曲线下方，x轴上方区域的面积。

4. 从N(0,1)的Φ(x)到N(μ,σ2)的F(x)=Φx-μσ

请看下面变换：ζ~N（μ,σ2）ζ~N（0,σ2）ζ~N（0,1），即

y=12πσe-(x-μ)22σ2

横移-μ

y=12πσe-x22σ2横标1σ倍纵标σ倍

y=12πe-x22

下方面积：1σ•σ=111σσ=1

因为上述图形变换中取点变换为

M1（x0,y0）M2(x0-μ,y0)M3x0-μσ,σy0

而点的横坐标和纵坐标伸缩倍数之积等于1，所以各个阴影部分的面积相等，即若把

ζ~N（μ,σ2）中ζ取值小于x0的概率记为Pμσ(ζ

F(x0)=Pμσ(ζ

即F(x)=Φx-μσ。证明完毕。

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