用梅涅劳定理与帕斯卡定理证明一个几何命题

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摘 要： 本文利用梅涅劳定理与帕斯卡定理证明同一个几何命题，体现命题与命题之间的关系，揭示定理与定理之间的内在联系.表明高等几何的原理和方法在初等几何的应用中的指导意义.

关键词： 梅涅劳定理 帕斯卡定理 几何命题

梅涅劳定理是证明共线点的有力工具，它是初等几何中的一个重要定理，它在国际国内数学竞赛试题中出现较多.帕斯卡定理是高等几何中的一个重要定理.1640年，帕斯卡（Pascal）发现著名的射影几何命题，它是二次曲线的射影理论的重要内容.通过对命题的证明揭示梅涅劳定理与帕斯卡定理之间的内在联系，同时体现命题与命题之间的关系.如，祥编写的高等学校教材《初等几何研究》的第53页例题2，就是利用梅涅劳定理证明在射影几何中占有重要地位的德萨格定理.特别是利用高等几何的思想方法解决初等几何问题，显得尤为重要.高等几何的原理和方法在初等几何中应用非常广泛，它具有独特的巧妙、灵活等特点.适当利用高等几何的定理证明初等几何问题能起到化繁为简，化难为易的作用.

梅涅劳定理：设三角形ABC三边（所在直线）BC、CA、AB被一直线分别截于点X、Y、Z，则有 ・ ・ =-1.

逆定理（梅涅劳定理）：设三角形ABC三边（所在直线）BC、CA、AB上各取一点X、Y、Z满足关系 ・ ・ =-1，则此三点X、Y、Z共线.

帕斯卡定理：对于任意一个内接于非退化的二阶曲线的简单六点形，它的三双对边的交点在一直线上.

命题：圆上六点A、B、C、D、E、F，AB与DE交于P，BC与EF交于Q，CD与FA交于R，求证P，R，Q共线.

证法1：利用梅涅劳定理证明.

证明：如图1，设DE与FA交于X，BC与DE交于Y，FA与BC交于Z.由AB截XYZ三边分别于A、B、P，

・ ・ =-1，即 ・ ・ =-1

由CD截XYZ三边分别与C、D、R，

・ ・ =-1

由EF截XYZ三边分别于E、F、Q，

・ ・ =-1

将以上三式相乘，得（ ・ ・ ）・ ・ ・ ・ ・ ・ =-1

由圆的性质知，

ZA・ZF=ZB・ZC，YB・YC=YD・YE，XD・XE=XF・XA

即，ZA・ZF・YB・YC・XD・XE=ZB・ZC・YD・YE・XF・XA

・ ・ ・ ・ ・ =1

所以， ・ ・ =-1

由逆定理（梅涅劳定理），P，R，Q共线.

证法2：利用帕斯卡定理证明.

证明：如图1，设简单六点形ABCDEF内接于圆，其三对对边AB与DE，BC与EF，CD与FA的交点分别为P，R，Q，圆显然是非退化的二阶曲线，根据利用帕斯卡定理，P，R，Q共线.

本命题证明的证法1是利用梅涅劳定理证明，证明时需要运用一定的技巧，有一定的难度.本命题的证法2是利用帕斯卡定理证明的，证明过程十分简洁，达到了事半功倍的效果.利用高等几何理论可以统一初等几何的某些问题，提高推广问题的能力，开阔视野，加强高等几何和初等几何的联系， 有利于更深刻地认识和掌握初等几何，并指导初等几何的教学与研究.能够在更高层面上理解几何空间的基本特性、研究方法及其内在联系，深刻体会几何的本质.

参考文献：

[1]祥.高等几何[M].北京：高等教育出版社，1983.

[2]梅向明等.高等几何[M].北京：高等教育出版社，1999.