统计抽样中样本容量的确定

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【摘要】在统计推断或抽样调查中都需要确定样本容量，当样本容量太小时，估计问题就不那么精确，结果的误差一般就比较大，当样本容量太大时，又会造成人力物力的浪费. 本文主要阐述如何利用统计分析来确定样本容量，主要从假设检验这个方面来浅谈如何确定样本容量的大小。

【关键词】样本容量 正态分布 置信区间 假设检验

我们知道在假设检验中，可能犯两类错误：第一类错误（拒真错误）：a=p（拒绝H0┃H0为真）。第二类错误（受伪错误）：β=p（拒绝H0┃H0为真）。

在一些实际问题中，我们除了希望控制犯第一类错误的概率外，往往还希望控制犯第二类错误的概率， 在进行假设检验时，总是根据问题的要求，预先给出显著性水平a以控制第一类错误的概率，而犯第二类错误的概率则依赖于样本容量的选取， 能否确定一个最小的样本容量n，使犯两类错误的概率能控制在预先给定的范围内呢？这是接下来要讨论的问题。

假设样本ζ1，ζ2，……ζn为来自正态总体ζ～N（μ0，б2）的简单随机样本，μ0为已知参数。

一、正态总体均值的检验与样本容量

我们下面利用假设检验犯第二类错误的概率来推导出样本容量n的公式，具体从方差б2为已知参数和未知参数的两个方面讲解。

（一）方差б2已知的情况

当方差б2=б20已知时，作统计假设H0：μ=μ0H1：μ=μ1>μ0（右侧检验），

在这样的假设下，有

同理，对于H0：μ=μ0H1：μ=μ1

样本容量的确定公式为：

（二）方差б0未知的情况

由t分布的分位点的性质，得

（6）式给出了求n的式子，但是等式右边也与n有关，所以n不易求得，又因为当n足够大时，由于t分布具有渐进正态性，所以可用Za和Zβ分别替代ta（n-1）和tβ（n-1），得到在进行重置抽样的正态总体均值右侧检验时（б2未知），两类错误条件下的样本容量确定公式为：

同理，对于左侧检验，两类错误条件下的样本容量确定公式为：

以右侧检验为例，由于s*n未知，所以采取如下方法：给定μ1的值，先适当取容量n1为的样本，算出s*n，按（7）式计算n，若n值小于n1，则采用一种叫“试差法”来确定样本的容量，即把由（7）式计算出的n，作为第二次查分位数时用的，将查得的结果代入（6）式计算值，再由这个值作为第三次查分位数ta（n-1），tβ（n-1）时用的n，又将查得的结果代入（6）式中，直到两边的n值相同或差异很小为止。若n值大于n1，再抽取n-n1个样本与原来n1个观察值合并，重新计算sn，重复以上做法得到所求的样本容量n。

二、函数与样本容量的确定

定义：若C是参数的θ某检验问题的一个检验法，

β（θ）=Pθ（接收H0）

称为检验法C的OC函数。

正态总体均值的检验法的函数

左边检验问题。 H0：μ≥μ0H1：μ=μ1

（1）它是λ的单调递增连续函数；

所以μ

则样本容量n满足