函数图象“通用点”的妙用

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对于已经确定的函数，用其自变量 x 及含有 x 的代数式来表示这个函数的横纵坐标的点必满足此函数即此点必在该函数的图象上.如 y=kx（k≠0）其“通用点”为（x，kx）；y=kx+b，其“通用点”为（x，kx+b）；y=kx（k≠0），其“通用点”为（x，kx）……

利用此“通用点”解题，不但解法简捷，减少运算，而且易于循求规律可称为妙用

下面请看几例

例1 （2007年青海省中考题）如图1，抛物线 y=x2+bx-c 经过直线 y=x-3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与 x 轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上的一动点，求使SAPC∶SACD=5∶4的点P的坐标

解：简解（1）易求A（3，0）、B（0，-3）

故易求抛物线为：y=x2-2x-3

（2）由（1）可知 y=x2-2x-3，易求C点坐标为（-1，0）；顶点的纵坐标为-4

因为点P在 y=x2-2x-3上，所以点P坐标为（x，x2-2x-3）

因为APC与ACD有公共边AC，所以只要求出这两个三角形AC边上高的比为5∶4即可

据题意有：x2-2x-3|-4|=54，

解之得，x1=4，x2=-2

当 x1=4时，x2-2x-3=5，P1（4，5）

当 x2=-2时，x2-2x-3=5，P2（-2，5）

据题 x2-2x-3只能在 x 轴上方，

即 x2-2x-3＞0

所以P1（4，5）、P2（-2，5）时SAPC∶SACD=5∶4

例2 (2008年太原市中考题)如图2，在平面直角坐标系中，直线 y=x+1与 y=-34x+3，交于点A，分别交 x 轴于点B和点C，D是AC上一个动点

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）当CBD为等腰三角形时，求点D的坐标

解：简解（1），易求A（87，157）、B（-1，0）、C（4，0）

（2）因为点D在AC上，所以点D坐标为（x，-34x+3）

（）当DB=DC时，点D必在BC的垂直平分线上，

所以 x=4+12-1=32，

所以-34x+3=（-34）•32+3=158

故D1的坐标为（32，158）

（）当BD=BC=5时，如图3，点D在第二象限，故 x＜0

故有（-x-1）2+（-34x+3）2=25，

解之得 x1=-125，x2=4（舍去）

当 x=-125时，-34x+3=（-34）•（-125）+3=245，所以D2的坐标为（-125，245）

（）当DC=BC=5时，

故有（4-x）2+（-34x+3）2=25，

解之得 x1=0，x2=8

当 x1=0时，-34x+3=3；

当 x2=8时，-34x+3=-3

所以D3（0，3），D4（8，-3）

综上所述点D的坐标为：D1（32，158）、D2（-125，245）、D3（0，3）、D4（8，-3）

例3 （2008年江苏省金华市中考题）如图4，在平面直角坐标系中，已知AOB是等边三角形，点A坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是 x 轴上的一个动点，连结AP，并把AOP绕着顶点A按逆时针方向旋转使AO与AB重合得到ABD

（1）求直线AB的解析式；

（2）当点P运动至点（3，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；

（3）是否存在点P，使OPD的面积等于34，若存在请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由

解：（1）设AB的直线为：

y=kx+b

因为点A（0，4），所以 y=kx+4

故点B的坐标为（x，kx+4）

过点B作BH垂直 x 轴，交 x 轴于点H如图4据AOB是等边三角形，且OA=4

所以OH=x=23，BH=kx+4=2，

所以 k=-33，所以直线AB为：

y=-33x+4

（2）设直线BD为 y1=k1x+b

因为BDAB又直线AB为

y=-33x+4，

所以 k1=3

又点B坐标为（23，2），所以直线BD的解析式为

y1=3x-4，

所以点D坐标为（x，3x-4）

由OA=4，OP=3，据勾股定理易求DP=19，故有

［4-（3x-4）］2+x2=（19）2，

解之得 x1=532，x2=322

当 x1=532时，3x-4=72；

当 x2=322时，3x-4=12（舍去）

所以点D的坐标为（532，72）

（3）要使OPD的面积为34，点D必不在 x 轴上，即3x-4≠0，即 x≠433，故只有|OP|=433时，问题才有解

设点P的坐标为（m，0）

（）当 m＞0时如图5，作DHx 轴，H为垂足

据勾股定理有：

AB2+BD2=PH2+DH2，

即16+m2=（x-m）2+（3x-4）2，

解之得 x=m+432

所以点D的纵坐标3x-4=3m+42，

据题意有：12•m•3m+42=34，

解：m1=21-233，

m2=-21-233（舍去），

所以P1的坐标为（21-233，0）

（）当-433＜m＜0时，仿（）有

16+m2=（x-m）2+（3x-4）2，

解之得，x=43+m2，

所以3x-4=4+3m2，

故有12（-m）•4+3m2=34，

所以 m1=-3，m2=-33，

所以P2（-33，0）、P3（-3，0）

（）当 m＜-433时，如图6，点D在第四象限，所以3x-4＜0

故有（x-m）2+（4-3x）2=16+m2，

解之得 x=m+432，

所以4-3x=-3m-42，

故有12•（-m）•-3m-42=34，

解之得 m1=-21-233，

m2=-23+213（舍去），

所以P4（-23-213，0）

综上所述，点P的坐标为：P1（21-233，0）、P2（-33，0）、P3（-3，0）、P4（-21-233，0）

（初三）