推理与证明

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推理与证明是数学的基础思维过程，也是人们日常学习和生活中常常使用的一种思维方式，推理一般包括合情推理与演绎推理，在问题的解决过程中，合情推理具有猜测结论和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于培养探究性思维能力和创造性思维能力。

一、 考纲要求

根据《2012年江苏高考数学科考试说明》及《江苏省普通高中数学课程标准教学要求》，合情推理与演绎推理要求为B级，分析法、综合法及反证法要求A级，这里的要求是对其概念的要求，而不是对方法的要求，会用分析法、综合法、反证法证明一些问题还是需要的，不可忽视。

1. 合情推理的两种常用形势包括归纳推理和类比推理。其中，由个别事实推演出一般的推理是归纳推理；根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同的推理是类比推理。

2. 演绎推理的主要形式是三段论式推理，其一般模式为：（1）已知的一般原理，即大前提，B是C，（2）所研究的特殊情况，即小前提：A是B，（3）根据一般原理，对特殊情况作出判断，即结论：A是C。

3. 直接证明就是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，逐步推得命题成立的证明方法。

4. 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法为综合法；从证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法为分析法。这两种证法均属于直接证明。

5. 反证法是一种间接证明方法，它的证明过程可以概括为“否定—推理—否定”。即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定（即肯定原命题）的过程。

二、 难点疑点

1. 类比的关键在（1）要能找到两类事物之间的相似性或一致性；（2）类比不是简单的模仿，要抓住一类事物的本质去推测另一事物的性质；（3）类比的结论不一定正确。

2. 用综合法是由条件证结论，是执因索果的过程，而分析法则是执果索因，从结论出发寻找结论成立的充要条件，对格式有严格的要求。

3. 反证法的难点在由假设出发，如何通过推理论证，得出怎样一个与已知条件或客观事实相矛盾的结论，从而否定假设，肯定原命题。

三、 经典练习回顾

1. 已知a1=3，a2=6，且an+2=an+1-an，则a33为 

BCD中（如图所示），而DEC平分二面角A

--！> 2. “AC，BD是菱形ABCD的对角线，AC，BD互相垂直且平分.”补充以上推理的大前提是 .

3. 用反证法证明命题“a，b∈N，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除.”那么假设的内容是

4. 已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线x2a2-y2b2=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.

四、 例题精析

【例1】 如图，在三棱锥P

矛盾，则假设不成立，即AE不平行平面PFD.

点拨 本题考查线面与面面位置关系的基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力，用到了直接证明与间接证明。请思考：第一问中包含了几个三段论。

【例2】 已知{bn}是公比为q（q≠1）等比数列，是否存在这样的正数q，使得等比数列{bn}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以证明；若不存在，请说明理由.

解析 本题可用分析法进行探究，如果存在正数q，使得等比数列{bn}中有三项成等差数列，不妨设第k，m，n项.根据q>0，可设k0，所以，q=1，与条件矛盾.失败了！失败不要紧，关键是我们找到了一个新思想：合情推理！这是解决本题的一把好钥匙.继续合情推理：一元二次方程不行，那么，最简单的就是一元三次方程了，那么，一元三次方程行不行呢？不妨设n-k为m-k的3倍，那么，如果令qm-k=x，那么就有x3-2x+1=0，尽管这是一个三次方程，但由于很明显有一个x=1的解，而由条件知x≠1，所以上面的方程可化为x2+x-1=0，解得x=5-12，于是，只要看对应的k，m，n为何值就可对了.继续合情推理：最简单的情形是m-k=1，n-k=3，这样的正整数k，m，n是否存在呢？很简单：k=1，m=2，n=4即可.于是q=5-12，难关攻克！

（作者：周国平 南通市通州区姜灶中学）