分类解析直线与圆的方程

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在解题中，首先确定直线和圆的几何要素；其次掌握好直线方程的各种形式及其适用范围、圆的标准方程和一般方程；第三掌握好直线与直线的位置关系、点到直线的距离，直线与圆、圆与圆的位置关系；最后要充分重视平面几何知识在解决直线与圆问题中的作用。

类型1:对直线倾斜角及斜率的概念理解

【例1】 设直线l的倾斜角为θ，满足条件sinθ+cosθ=15，又直线通过定点M(1,1)，则直线的方程是 ．

错解 由条件sinθ+cosθ=15两边平方得2sinθcosθ=－2425，而2sinθcosθ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ

解得tanθ=－34或tanθ=－43.由点斜式得直线l的方程为4x+3y－7=0或3x+4y－7=0.

错因分析 直线的倾斜角的取值范围为0,π，上述错解正是没有考虑倾斜角的范围而直接将sinθ+cosθ=15平方，使得倾斜角θ的范围扩大，最终导致错解。

正确解法 由sinθ+cosθ=15两边平方得2sinθcosθ=－2425

θ是钝角由sin2θ=2tanθ1+tan2θ=－2425,解得tanθ=－43或tanθ=－34（舍去），直线l的方程为4x+3y－7=0.

防错机制 在运动变化过程中求解要注意两点：①等价转换；②及时讨论。

类型1:求截距相等的直线方程时，考虑截距为零的情形

【例1】 已知C:x2+y2+2x－4y+3=0，若C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求切线方程.

错解 因为切线在两坐标轴上的截距相等，所以切线的斜率为k=－1，设切线为y=－x+b，由圆心到直线的距离为2，得|－1+2－b|2=2，b=－1或b=3.所求直线方程为：y=－x+3,y=－x－1.

错因分析 对截距的概念理解不透彻，横（纵）截距是指直线与x(y)坐标轴交点的横纵坐标，其值可为正数、负数或0.上述解题过程忘记了截距为零的情况。

正确解法 在错解的基础上再补充当切线经过原点时，设切线方程为y=kx（显然斜率存在），由圆心到直线的距离为2，得|－k－2|k2+1=2，k=2±6,

所求直线方程为：y=－x+3,y=－x－1，y=(2+6)x,y=(2－6)x.

防错机制 在解决直线问题时，如果利用直线的截距式，一定要考虑直线的截距是否存在，是否为零。也就是要注意直线的截距式不能表示与坐标轴垂直的直线和过原点的直线。

类型2:判断两直线位置关系时，直线斜率不存在以及两直线重合的情况

防错机制 判断两条直线的位置关系时有两个易错点：一是忽视了直线的斜率不存在的情况；二是忽视了两直线重合的情况。解答这类试题时要根据直线方程中的系数进行分类讨论，求出结果后再反代到直线方程中进行检验，这样能有效地避免错误。

类型4:准确把握圆的一般式方程成立的条件

【例4】 过点(1,2)总可作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2－15=0相切.求实数k的取值范围.

错解 因为过点(1,2)总可作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2－15=0相切，所以点(1,2)在圆x2+y2+kx+2y+k2－15=0外，即12+22+k•1+2×2+k2－15>0k2.

错因分析 本题根据过直线外的一点可以作两条圆的切线，求了其中的待定系数，但忽略了圆的一般式方程中，k的取值应使方程表示一个圆。

正确解法 因为过点(1,2)总可作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2－15=0相切，

所以12+22+k•1+2×2+k2－15>0k2+22－4(k2－15)>0，解不等式组得k∈－833,－3∪2,833

防错机制 将圆的方程变形为标准形式，很容易由r2>0得出待定系数的限制条件。

类型3：检验圆与直线的位置关系

【例3】 已知以点Ct,2t(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A，与y轴交于点O,B，其中O为坐标原点.设直线y=－2x+4与圆C交于点M,N,若OM=ON,求圆C的方程.