立体几何中点面距离的求法

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空间立体几何中的距离包括点点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距离.在这些距离当中，点到平面的距离显得尤为重要，在高考中也经常出现，并且线线距离、线面距离、面面距离都可以转化成点到平面的距离去求解.因此，点面距离就成了这一类距离问题的交汇点.下面举例谈谈点面距离的求法：

一、直接法

即直接作出点到平面的垂线段，然后求出垂线段的长度.而在作点面垂直时，通常先找面面垂直，然后作两个面交线的垂线，利用面面垂直的性质，即可找出垂线段.

例1如图1，已知长方体ABCD―A1B1C1D1

中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到

截面AB1D1的距离为.

分析要作出A1到平面AB1D1的垂线段，只要

找到一个经过A1且与面AB1D1垂直的平面即可.显然

对角面AA1C1C符合条件，过A1作交线OA的垂线，

垂足为H，则A1H面AB1D1.

解连结A1C1，AC，易证面AB1D1面AA1C1C.过A1作A1HAO，由面面垂直的性质知A1H面AB1D1，A1O=12A1C1=2，OA=32.

在RtA1AO中，利用面积相等可求得A1H=43.

二、等体积法

通过三棱锥模型，把点面距离看成棱锥的顶点到对面三角形所在平面的距离，在三棱锥体积易求的前提下，实现等体积转化，求出点到平面的距离.

例2如图2，已知正方体AC1的棱长为a，

E、F分别是A1B1、CD的中点，求点B到平面

AEF的距离.

分析因B点在平面AEF上的射影位置不易确定，所以不考虑直接作出点面距离，而在三棱锥B―AEF中利用等体积转化来求.

解连结BF、BE，易求AE=AF=52a.取C1D1中点G，连FG、EG，则FG面A1C1，

所以FGEG.在RtEFG中，EF=2a.

过A作AHEF，垂足为H，故AH=AE2-EH2=32a，

所以SAEF=12・2a・32a=64a2

SAEB=12a2.设B点到面AEF的距离为h，

由VB-AEF=VF-ABE，可得

13・64 a2・h=13・12a2・a,

所以h=63a，即点B到平面AEF的距离为63a.

三、平行转化法

当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离相

等.在某点到平面的距离易求的前提下实行平行转化，将较难的点到平面的距离转化为较易求的另外一点到平面的距离.

例3如图3，已知ABCD是边长为4的正方

形，E，F分别是AB、AD的中点，GC垂直于平面

ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离.

分析点B在平面EFG上的射影位置不易确定，

故直接作出垂线段比较困难.而BD∥面EFG，因此

直线BD上任意一点到平面EFG的距离都相等.由于

AC与BD的交点O到平面EFG的距离可以作出来，故将B点到平面EFG的距离转化为O点到平面EFG的距离比较方便.另外，本题也可利用等体积法来求.

解连结AC，BD交于O点，AC与EF交于P，由EF∥BD可得BD∥面EFG，故O点到平面EFG的距离等于B点到平面EFG的距离.

因为GC在ABCD，所以GCBD.

又BDAC，所以BD面GPC.又BD∥EF，

所以EF面GPC.过O作OMGP于M，则EFOM,

所以OM面EFG.

在RtGPC中，PC=32，OP=2，GC=2，GP=22，

由RtOPM∽RtGPC知OMGC=OPGP,

所以OM=GC・OPGP=2×222=21111.

四、比例转化法

通过线面相交模型，利用平行线段分直线对应成比例，把点面距离通过比例转化为另一点到平面的距离.如图4、图5，AC与α相交于B，过A和C分别作ADα于D，CEα与E，则ADCE=ABCB.

例4如图6，已知四棱锥P－ABCD的

底面是边长为a的菱形，且∠BAD = 60°，又PC面ABCD，PC = a，E是PA上一点，且PEPA=13，求点E到平面PBC的距离.

分析E点在平面PBC上的射影不易确定，并且三棱锥E－PBC的体积也难以求出，若想直接作出点面距离或用等体