为什么质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零

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在2012年全国高考物理试题的新课程版和大纲版中各有一道题目涉及到“质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零”这一问题，原题如下：

新课程版第21题：假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体.一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为

A.1-dR B.1+dR C.（R-dR）2 D.（RR-d）2

大纲版第25题：一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为k.设地球的半径为R.假定地球的密度均匀.已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d.

在这两道高考题中，“质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零”都作为已知条件给了考生.作为考生只需要知道这个结论就可以了，但作为教师就必须知道为什么放在内部的物体所受万有引力为零，因为还要给下一届乃至下几届的学生讲清楚原理和原因.笔者给出了以下三种方法予以说明：

1. 将万有引力与电场力进行类比得出结论.

在学习静电场中我们知道：均匀带电球面内部场强处处为零.那么对于万有引力，我们认为物体在其周围形成了引力场.电荷与电荷之间的作用力与他们之间距离的平方成反比，而万有引力定律也满足平方反比关系，即电荷之间的相互作用力与物体间的万有引力满足相似的规律，所以质量分布均匀的球壳内部的万有引力场的场强也为零.由上面的类比可知：质量分布均匀的球壳对球壳内部的物体的万有引力为零.

2.用微元法进行简略的证明.

如图1所示，在球壳内部任取一点P，在P点放一质量为m的质点，过P点作两条直线，设两条直线之间的夹角为θ，让θ无限小，在球壳上以两条直线与球壳的交点为直径画圆.由于θ无限小，所以在球壳上所取的就是两个近似的微小圆柱.设球壳的厚度为d，球壳的密度为ρ，则这两个微小圆柱的质量分别为：

由于F1和F2方向相反，故这两个微小圆柱对质点的引力的合力为零.由对称性可知，整个球壳对方在P点的质点的引力为零.

3.用微积分法证明.

设球壳的半径为R，厚度为d，球壳的密度为ρ，建立如图2所示的三维坐标系.在球壳内的M点放一质点m，其坐标为（0，0，r），由对称性可知，球壳对质点的万有引力必然沿着z轴方向，在x轴和y轴方向的合力为零.在球上取一微元P，其坐标为（R，α，β），如图3所示，可得该微元的体积为