数学归纳法的结构及其教学

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇数学归纳法的结构及其教学范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

数学归纳法在中学数学中居独特地位，它在教学中的困难主要表现在两个方面：一是学生对归纳法本身“可靠性”的怀疑，二是运用归纳法证题时易出现“假证明”。

一、数学归纳法的结构――演义与归纳的辩证统一

如果把特征的命题简记为，则数学归纳法证题的一般步骤是：（1）证明：真；（2）证明：S（k）真?圯S（k+1）真；（3）结论：真。

图示为：S（k）真?圯S（k+1）真

S（1）真?圯S（n）真

纵观全过程，这是一个“个别―特殊―一般”的推理形式，完全合乎归纳推理程序。从这一层面来讲，它是归纳的。

但是，这个“从S（1）真到S（n）真”并不能靠归纳本身完成，否则就会成为“不完全归纳法”。它将经由这样的程序：假设S（k）真（S（1）真为这个假设奠定了基础），然后经过合乎逻辑规则的推理，最后得出S（k+1）真，这正是一个确定的结论的演绎的证明。从这一层面来讲，它又是演绎的。

所以，把这种证题方法叫做数学归纳法，较能体现归纳中有演绎、演绎中有归纳、归纳与演绎辩证统一的关系。而其中起关键作用的是演绎――正是靠了演绎，结论的正确性得到以从自然走向必然。我们认为，数学归纳法的本质是归纳―演绎的，而演绎是其灵魂。数学归纳法是由递推基础“S（1）真”和递推根据“S（k）真?圯S（k+1）真”协同作用实现其证明的美妙而独特的数学方法。

二、教学中应注意的几个问题

1.注重不完全归纳法的地位。

数学归纳法有着不同的侧面。作为纯粹证题方法的“数学归纳法”与作为教学对象的“数学归纳法”，二者并非一回事。一般教法比较失策的一点是：为了引入数学归纳法，不惜牺牲不完全归纳法，只强调不完全归纳法“不可靠”的一面，而忽略它在作出“新发现”中起作用的一面。在教学中我们从不完全归纳法开始，利用“问题―发现”式教学，其程序大致是：

（1）问题：S（n）=1+3+5+…+（2n-1）=?

（2）列表：1=1

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

如果必要尚可多列出一些（或配合以图形）。

（4）证明：用数学归纳法，示范讲解，提出数学归纳法及其解题步骤。

（5）讲练：初步入门就迅速转入练习（包括讲解例题），使学生在教师指导下，通过讲练达到能懂、会用，明白道理。

2.递推关系是数学归纳法的灵魂。

在数学归纳法教学与解题过程中，中心而困难的一个环节是：“证明：S（k）真?圯S（k+1）真。”

问题表现在：

（1）不懂得对于每个具体的题目，如何将S（k）、S（k+1）真具体化。这在学习初期表现突出。对此，要耐心地进行“解疑”和“启蒙教育”。

（2）不懂得经由怎样的中间步骤实现“S（k）真?圯S（k+1）真”。解决这个问题没有一成不变的办法，原则是创造条件，利用归纳假设，针对具体题目（即一凑假设，二凑目的）。有时需要充分利用几何直观和试算猜想，其思维特点是直觉的或者归纳的；有时则需要从结论出发进行逆推。而分析法用于数学归纳法证题，亦有讲究。3.防止思维混乱，避免“假证明”。

数学归纳法证题训练中，学生往往不知不觉地认为：（1）假设S（k）真，不也是假设了S（k+1）真吗？S（k）与S（k+1）只是S（n）中n取k与k+1，它们没有区别，所以关于“S（k）真?圯S（k+1）真”的证明是走形式。（2）假设S（k）真不就是假设S（n）真吗？k与n都代表自然数，只是符号有别，命题S（k）就是命题S（n），假设它真还证什么？如上述种种错误理解，极易引起学生的思维混乱，甚至导致数学归纳法“可靠性”的怀疑。而另有一些同学则喜不自胜，以为数学归纳法全是走过场，作业中便会自觉或不自觉地出现一些“假证明”。为此，在教学开始时应讲清楚数学归纳法的原理，在证题训练中让学生完全理解并规范约束学生的证题思路，使他们由不自觉到自觉，真正领会数学归纳法，会用数学归纳法。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文