小车倒立摆系统起摆与稳定控制策略的研究
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1 引言
本文从实时和稳态性能角度出发，研究倒立摆系统的起摆和稳摆控制，在建立了小车直线一级倒立摆非线性数学模型的基础上，提出将基于能量的起摆控制方法与基于滑模[16-18]的稳摆控制方法相结合，设计并实现了基于实验的起摆与稳摆自动切换的控制策略。
2 倒立摆的数学模型
2.1 受力分析
如图1所示，在忽略了空气阻力和各种摩擦后，可将直线一级倒立摆抽象成一个由小车和匀质杆组成的系统。
图1. 直线一级倒立摆模型
其中M：小车质量，m：摆杆质量，b：小车摩擦系数，l：摆杆转动轴心到杆质心的长度，I：摆杆惯量，F：加在小车上的力，x：小车位置，φ：摆杆与垂直方向的夹角。以上各参数的单位均采用国际单位制。
下面分别以N和P作为作为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向上的分量。分析小车水平方向所受的合力可以得到：
（1）
由摆杆水平方向的受力分析可以得到：
（2）
即：
（3）
将（3）式代入（1）式中即可得到系统的第一个运动方程：
（4）
为了得到系统的第二个运动方程，需要对摆杆垂直方向的受力进行分析，可得如下方程：
（5）
即： （6）
力矩平衡方程： （7）
合并方程（6）和（7），得到第二个运动方程：
（8）
至此倒立摆系统的两个运动方程（4）和（8）就已经得到。
2.2 建立数学模型
根据倒立摆运动方程可以很容易得出倒立摆系统典型的非线性特性，为了更近一步进行分析建模，考虑其状态空间表达式：
（9）
其中 为系统的状态空间变量， 为小车的速度， 为摆杆的角速度， 为小车的控制输入， ， 为系统的扰动，我们令 ，就可以得到系统的状态空间方程的标准形式，再根据倒立摆系统的运动方程可以很容易得出 和 ：
（10）
上述方程即定义了一级倒立摆系统的非线性模型。
3 基于能量的摆起控制
能量控制策略
摆杆初始时处于自然下垂状态，假设此时系统的能量为0，要使摆杆从初始位置起摆并稳定在竖直向上位置所需要的能量为 （11）
摆杆在任意角度φ时所具有的能量
其中 为水平向右的控制量。定义李雅普若夫方程：
（17）
则： （18）
为了保证倒立摆系统的稳定性，需使 。因此，定义控制量 （19）
由于实际物理系统的限制，控制量不能够太大，因此我们采用：
（20）
这样既保证了摆杆的快速平稳摆起，同时通过对控制力的限制，还可以保证小车的位移不致过大而超出导轨长度。
4 倒立摆系统基于滑模的平衡控制
4.1 滑模控制算法
我们首先定义系统在理想状态下滑动平面为
（21）
其中 为常数，采用等效控制方法，将控制量定义为 （22）
其中 为等效控制量， 为切换控制量。当系统到达切换平面以后有：
（23）
将（9）式代入式（31）中即可以得到系统的等效控制量为
（24）
构造李亚普若夫函数 （25）
对V求导数后有 ，将式（31）代入后有
（26）
令 （27）
其中和均为常数，将（32）式代入（31）式中有
（28）
根据李亚普诺夫稳定判据可知系统是稳定的，因此最终得出倒立摆系统稳定控制时的控制量为
（29）
4.2 起摆和稳摆自动切换控制策略
针对倒立摆实际系统，基于实验的自动切换控制策略设计如下：
首先，通过仿真分析，确定起摆控制参数，保证在摆杆接近倒立状态时，动能很小且摆起时间很短。然后，选取合适的切换点，保证从摆起到平衡的平稳过渡。过渡角度一定要小于滑模控制的有效角度，且小车的位移尽量小、调整时间也不应太长。
4 实验结果
为了验证上述算法的可行性，我们选用固高公司的倒立摆实验操作平台，由GM系列运动控制卡控制伺服电机通过同步带驱动小车，利用两个增量式编码器测得小车的位置和摆杆的角度，实验所需的模型参数如表1所示。
表1. 倒立摆系统的模型参数
根据本文提出的能量摆起控制策略和滑模稳定控制策略，计算并调整各变量的控制参数，最终成功的实现了倒立摆系统的起摆和稳摆控制，变量控制参数如表2所示，实验结果如图2到7所示：
表2.倒立摆系统变量控制参数
图2. 小车位移 图3. 小车速度
图4. 摆杆角度 图5. 摆杆角速度
图6. 摆起控制力 图7. 平衡控制力
实验结果说明本文所提出的倒立摆系统的起摆与稳定控制方法是切实有效的。
5 结论
本文提出的控制策略针对倒立摆系统的非线性模型的摆起和镇定问题，具有较好的控制效果和工程实践意义。
参考文献：
[1]Furuta， K.， Yamakita， M.， Kobayashi， S. “Swing up control of inverted pendulum”， Pro. Int. Conf. on Industrial Electronics， Contr. and Instrumentation， 1991.
[2]Furuta K， Yamakita M， Kobayashi S. Swing-up control of inverted pendulum using pseudo-state feedback[J]. Systems and Control Engineering， 1992（206）： 263-269..等等。