拼出来的特殊四边形
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分割、拼合图形是一种集趣味性、挑战性与探索性于一体的益智活动.近几年中考试题有关特殊平行四边形的拼合问题屡有出现，这类试题旨在倡导同学们主动参与学习和思考，不仅培养了同学们的空间观念，还加强了同学们的想象能力以及在实际问题中应用数学的意识.本文摘取数例加以剖析，供同学们参考.
1.拼平行四边形
例1阅读下列材料：
小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列方式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG.
请你参考小明的做法解决下列问题：
（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列方式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；
（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连接AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ.请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）.
解析：（1）题目展示了小明将图1放置的5个正方形分割拼成正方形的方法，要求同学们模仿探究将图3拼成平行四边形，类比猜想我们可以连接图5的点A、D，显然三角形①②是全等的，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的平行四边形ABCD.（如图5）
2.拼矩形
例2直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形，方法如图7.
请你用图7的方法，解答下列问题：
（1）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形.
（2）对任意一个四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形.
解析：观察图7拼成矩形的方法，找到直角三角形的一条中位线，然后过一个顶点作中位线的垂线，将直角三角形分成三部分，然后将两个直角三角形（①、②）绕中点旋转180°，即可拼成一个等面积的矩形.
（1）类比上述方法，我们同样先取图8中三角形的某两边的中点，得到中位线，然后再过一个顶点作中位线的垂线，仿照上述拼合方法即可得到一个矩形；
（2）如图9，我们可以连接四边形一条对角线，将其分割成两个三角形，然后再将每一个三角形仿照（1）的分割拼合方法即可拼成一个矩形.
点评：本题以直角三角形剪拼成矩形为例，让同学们探究任意三角形、四边形拼成矩形的方案，问题循序渐进，既要求同学们能够理解掌握直角三角形拼合成矩形的方法，又需要同学们具有创新的精神.
3.拼正方形
例3在图10～14中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．
操作示例：当2b＜a时，如图10，在BA上选取点G，使BG＝b，连接FG和CG，裁掉FAG和CGB并分别拼接到FEH和CHD的位置构成四边形FGCH．
思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将FAG绕点F逆时针旋转90°到FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连接CH，由剪拼方法可得DH＝BG.故CHD≌CGB，从而又可将CGB绕点C顺时针旋转90°到CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图10），过点F作FMAE于点M（图略），利用SAS可判断HFM ≌CHD，易得FH＝HC＝GC＝FG，∠FHC＝90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．
实践探究：（1）正方形FGCH的面积是_________；（用含a，b的式子表示）
（2）类比图10的剪拼方法，请你就图11～图13的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．
联想拓展小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．
当b＞a时，如图14的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，请简要说明理由．
解析：根据剪拼后图形只要没有重叠，也无缝隙，面积就不会改变可知，拼接正方形FGCH的面积＝等腰直角三角形的面积+正方形的面积＝a2＋b2.
图14能剪拼成一个正方形，剪拼方法如图18（图中BG＝DH＝b）．
由例1、例3的探索可以发现，解决拼图问题要遵循一个准则：分割、拼合之后的图形的面积与提供的图形的面积是相等的；掌握一个确定正方形边长大小的方法：拼成的正方形边长等于原图形面积的算术平方根；尝试一个寻求分割线思路：观察提供的图形，借助勾股定理确定正方形的边长.
由例2探索可以发现三角形的中位线在将三角形转化为矩形的过程中起到重要的作用，同时利用中心对称的性质，巧妙将分割得到的两个直角三角形割补到相应的位置具有“添砖加瓦”的作用.
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