感受数系扩充

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数系的扩充是是从自然数到整数、有理数、实数直至复数.实际上，数系在扩充的时候，仍然遵循如下几项原则：第一（创造性原则）即数的概念的扩大，要能解决实际问题中遇到的矛盾；第二（继承性原则）要尽可能地保留原有的数集的性质，特别是它的运算性质，否则又会产生新的矛盾.这里的知识点是需要掌握复数的分类；其次是掌握两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，当然如果两个复数是实数，则可以比较大小；第三是掌握虚数单位 的周期性的特点；第四是掌握复数相等的充要条件，即如果两个复数的实部与虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等；第五是把握好实系数一元二次方程的实数解，即给出一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c∈R，且a≠0），若方程的根的判别式Δ

1.感受复数的有关概念题型

例1已知复数z=a2-7a+6a2-1+（a2-5a+6）i （a∈R），试求实数a分别取什么值时，z为（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.

分析本题可找出复数的实部和虚部，并根据题意找出符合实数、虚数的条件来确定.

解（1）当z为实数时，则a2-5a-6=0，a2≠1，即a=-1或a=6，a≠±1，得a=6.故当a=6时，z为实数.

（2）当z为虚数时，则有a2-5a-6≠0，a2≠1，即a=-1且a≠6，a≠±1，求得a≠±1且a≠6.因此当a∈（-∞，-1）∪（-1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）时，z为虚数.

（3）当z为纯虚数时，则有a2-5a-6≠0，a2-7a+6a2-1=0.即a≠-1且a≠6，a=6.故不存在实数a，使z为纯虚数.

点拨复数包括实数和虚数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数.合理利用复数是实数、虚数以及纯虚数的条件是解决本类问题的关键.

2.感受复数相等

例2已知x+y-xyi=24i-5，其中x 、y∈R，求x、y的值.

分析此类题型其实质是在实数集中解方程，通常的方法是由复数相等的充要条件将其转化为实数集上的方程组，进而求得方程的解.

解x、y

∈R，x+y∈R，xy∈R，则根据题意得到x+y=-5，-xy=24.可以解得x=3，y=-8，或x=-8，y=3.

点拨（1）运用复数相等的充要条件“a+bi=c+dia=c，b=d”时，应该注意大前提a、b、c、d∈R，否则解题时容易出现错误.

3.感受复数方程问题

例4已知关于x、y的方程组

（2x-1）+i=y-（3-y）i，（2x+ay）-（4x-y+b）i=9-8i.①②

有实数根，求实数a、b的值.

分析由于x、y是实数，根据两个复数相等的充要条件，将复数问题转化为实数问题来解决.

解由（1）得到2x-1=y，1=-（3-y），可解得x=52，y=4.再将其代入方程（2）得到（5+4a）-（6+b）i=9-8i.

又a、b∈R，5+4a，6+b=8.可以解得a=1，b=2.

点拨一个有关复数的方程，相当于两个实数方程，由此能求出两个未知数.本题利用复数相等的充要条件将复数问题转化为实数问题来解决.这是解决此类问题的基本方法.

4.感受复数中的数学思想问题

例4复数z满足zz+2iz=3+ai （a∈R），且复数z对应的点在第二象限，求实数a的取值范围.

分析可以利用常规解法，令z=x+yi（x，y∈R），化虚为实，寻求解法，探求a的取值范围，可以利用方程思想，函数思想来解决.

解设z=x+yi（x，y∈R），则x2+y2+2i（x-yi）=3+ai，即x2+y2+2y+2xi=3+ai，则

x2+y2+2y=3，2x=a.（1）（2）

由复数z对应点在第二象限，故

x0，（3）

下面的问题就是如何由（1）（2）（3）出发，探求a的取值范围.

方法一：方程思想

由（1）（2）组成方程组，解出

x=a2，t=-2±16-a22. （4）

把（4）代入（3）即可转化为求a的取值范围问题.

由a2

-2±16-a22>0，得到-23

方法二：函数思想

（1）（2）两等式可以看作x、y、a三个量之间相互依存、相互制约的关系式.本题最后求解的是a的取值范围，不妨从（1）（2）中解出x、a关于y的函数解析式，利用函数值域的方法，求出a的取值范围.

由（1）a=x2，再由（3）x

（2）代入（1）得

y2+2y+a24=3，解出a2得到a2=4[4-（y+1）2].

由（3）y>0，可以知道（y+1）2>1.则a2

-23

由（5）（6）可以得到-23

点拨本题包含了多种解题思想，如复数知识和方程、不等式、函数、解析几何等知识的内在联系.因此，解题需要很多的创新能力和思维能力.