圆锥锥曲线中类比探究的切入点
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探究性学习是新课改的最强音，也是激活高三复习思维品质的“强心剂”．类比是根据两个对象间的相似性，由一个对象联想到另一个对象也可能具有某种属性的思维方法，是一种由此及彼的合情推理，是合情推理的重要推理手段，也是探究性学习的“前奏”．圆锥曲线是高中数学的主干知识，圆锥曲线中有许多结构和谐、内容统一的性质，耐人寻味，是引导学生进行探究学习的良好素材，而探究往往从类比开始，类比能不断引导学生正确的探究方向，也不断激发人们的探究的热情，同时也为我们的命题者开拓命题思路，本文主要谈谈在圆锥曲线中进行类比探究的几个切入点．
1 “统一”类比
圆锥曲线不仅有统一的定义、统一的坐标方程，还有许多统一的性质，所以从“统一”类比的角度去看圆锥曲线的内在关系，是一件非常自然的事情，也是我们探究圆锥曲线性质的重要切入点．
例1 （1） 设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1上的任意两点，M是线段AB的中点，若直线AB、OM的斜率都存在，则 kOM・kAB为定值e2-1.(e为离心率）
（2） 设A、B是双曲线x2a2-y2b2=1上的任意两点，M是线段AB的中点，若直线AB、OM的斜率都存在，则 kOM・kAB为定值e2-1. (e为离心率）
证明：（1） 设A（x1,y1),B(x2,y2), 则
x21a2+y21b2=1①
x22a2+y22b2=1②
由①-②得：x21-x22a2+y21-y22b2=0, 即
(x1-x2)(x1+x2)a2+(y1-y2)(y1+y2)b2=0,
所以 k1=y1-y2x1-x2=-b2a2・x1+x2y1+y2=
-b2a2・2xM2yM=-b2a2・1k2，
即 k1k2=-b2a2=c2-a2a2=e2-1，证毕．
（2） 略．
例2 （1） 设A（x1,y1)为椭圆x2a2+y2b2=1上的任意一点，过点A作一条斜率为x1y1(e2-1)的直线l,设d为原点至直线l的距离，r1、r2分别为点A到椭圆两焦点F1、F2的距离．则r1r2d=常数．
（2） 设A（x1,y1)为双曲线x2a2-y2b2=1上的任意一点，过点A作一条斜率为x1y1(e2-1)的直线l，设d为原点至直线l的距离，r1、r2分别为点A到双曲线两焦点F1、F2的距离．
则 r1r2d=常数．
证明：（1） 易求直线l的方程为：xx1a2+yy1b2=1，则 d=a2b2b4x21+a4y21=a2ba4-c2x21，
由椭圆的焦半径公式得：
r1r2=(a+ex1)(a-ex1)=
a2-e2x21=1a2a4-c2x21，
所以 r1r2d是定值=ab(常数）．
(2)略.
例3 （1） 已知F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1的两个焦点，P为椭圆上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，则PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=a上；
（2） （2006江西省高考试题改编）已知F1，F2为双曲线x2a2-y2b2=1 (a＞0,b＞0且a≠b)的两个焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，则PF1F2的内切圆的圆心必在直线x=a上；
引申：（1） 已知F1，F2为椭圆x2a2+y2b2=1 (a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上异于顶点的任意一点，动圆M与线段F1P、F1F2的延长线及线段PF2相切，则圆心M的轨迹为除去坐标轴上的一条直线．
（2） 已知F1，F2为双曲线x2a2-y2b2=1 （a＞0,b＞0且a≠b）的两个焦点，P为双曲线上异于顶点的任意一点，动圆M与线段F1P、F1F2的延长线及线段PF2相切，则圆心M的轨迹为除去坐标轴上的一条直线．
2 “正负”类比
圆锥曲线的很多性质中往往是以对偶的形式出现的，比较典型的形式是正负成对出现等，如果抓住了圆锥曲线这个特点对有关问题进行类比探究，往往为我们探究学习提供正确的探究方向与目标，是我们探究学习的“快捷方式”．
例4 （1） 已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1 (a＞b＞0)的左准线l，左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，则|F1F2||MF1|-|MF1||MF2|等于1．
（2） 双曲线C1：x2a2-y2b2=1 (a＞0,b＞0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，则|F1F2||MF1|-|MF1||MF2|等于-1．
证明：（1） 由题意及椭圆的第二定义得：
|MF1||MF2|=e，
即 |MF2|=1e|MF1|，又由椭圆的定义得：|MF1|+1e|MF1|=2a，
所以 |MF1|=2aca+c
|F1F2||MF1|-|MF1||MF2|=2c2aa+c-ca=1.
(2) 略．
引申1：（1） 椭圆C1：x2a2+y2b2=1的左准线为l，左、右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2，C1与C2的一个交点为M，线段MF2的中点为G，O是坐标原点，则|OF1||MF1|-|OG||MF2|的值为12．
（2） 双曲线C1：x2a2-y2b2=1 (a＞0,b＞0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，线段MF2的中点为G，O是坐标原点，则|OF1||MF1|-|OG||MF2|的值为-12．
引申2：（1） 椭圆x2a2+y2b2=1 (a＞b＞0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1和F2，抛物线C2的准线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，且∠F1MF2=θ，则a4-c4-2a3ccosθ2ac3等于1．
（2） 双曲线C1：x2a2-y2b2=1 (a＞0,b＞0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1和F2，抛物线C2的准线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，且∠F1MF2=θ，则a4-c4-2a3ccosθ2ac3等于-1．
证明：（1） 由例4的推导过程可知：
|MF1|=2aca+c，|MF2|=2c2a+c，
在MF1F2中由余弦定理得：
（2aca+c)2+(2c2a+c)2-2(2aca+c)(2c2a+c)2cosθ=(2c)2，整理得：
a4-c4-2a3ccosθ2ac3=1.
(2) 略．
参考文献
苏立标．探求以e2-1为定值的圆锥曲线问题．中学数学教学参考，2006（5）
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