对带电粒子垂直进入正交电磁场运动轨迹的探讨

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先看下面一道习题：

在方向如图所示的匀强电场（场强为E)和匀强磁场（磁感应强度为B)共存的场区，一电子沿垂直电场线和磁感线方向以速度v0射入场区，则（）

A.若v0>E／B，电子沿轨迹Ⅰ运动，射出场区时，速度v>v0

B.若v0>E／B，电子沿轨迹Ⅱ运动，射出场区时，速度v

C.若v0v0

D.若v0

这是一道常见习题，它考查了速度选择器原理、电场力做功特点和洛仑磁力不做功特点及动能定理的具体应用。我们知道，在该题中，当带电粒子进入的速度v≠E／B，即所受电场力与洛仑兹力不等时，其轨迹不再沿直线运动，而是做复杂的曲线运动。如果复合场区域足够大，带电粒子运动时间足够长，那么上述的轨迹是否全面反映了带电粒子的运动情况呢?下面对此进行探讨。

同平抛运动的处理方法一样，对于复杂的曲线运动，我们可以将其分解成两个独立的分运动来研究。下面以带正电的粒子垂直进入上面图示的复合场为例来分析。

1．若v>E/B，当粒子刚进入复合场时，将速度v分解成两个分速度v1和v2，此时则有v=v1+v2，设v1=E／B，即该分速度对应的洛仑磁力f1=qv1B与电场力F=Eq平衡，另一分速度v2对应的洛仑磁力f2=qv2B，如图1所示。于是曲线运动可以分解成这样两种分运动：一是在力f1和F作用下以v1做匀速直线运动，二是在力f2作用下以v2做匀速圆周运动，这两个分运动是独立的。由于v1和v2的大小关系未确定，所以还要分别讨论。

(1)当v1>v2，其轨迹如图2所示。

（2）当v1=v2，其轨迹如图3所示。

(3)当v1

上述几种轨迹是如何推断出来的呢?

我们可以根据速度的合成法则作出矢量图判断：对(1)，v1>v2，图2轨迹上从点A到点C为前半个周期，此阶段其合速度v变化的大小和方向可由图5的三角形法则看出：大小一直减小（最小值为v1一v2)，与水平方向的夹角由零增大到某值后又减小至零；轨迹上从点C到点D为后半个周期，此阶段其合速度v变化的大小和方向由图5的三角形法则同样可得出(图中未画此时的分速度v2)；大小一直增大，与水平方向的夹角也由零增大到某值后又减小至零。同理，对(2)v1=v2，由图6的三角形法则看出：前半个周期合速度v大小一直减小至零，与水平方向的夹角由零一直增大到90°；后半个周期合速度v大小由零一直增大，而与水平方向的夹角一直减小到零。实际上，图3曲线同在水平面上做纯滚动的车轮其边缘上的一点运动的轨迹一样(称之为摆线)，只不过图3的水平面在上方罢了。对（3)v1

2.若vv2，此时两个分运动的速度情况同图2轨迹上的C点一样，因此不难推断其轨迹，如图9所示。

通过上述分析可知，如果复合场区域足够大，带电粒子运动时间足够长，那么带电粒子运动都呈一种周期性的曲线运动。所以本文开头的那道习题中的图示轨迹表示的是带电粒子刚进入复合场时起初阶段的运动情况。

参考文献：

［1］朱来红．物块A能做匀速直线运动吗．《物理教师》，2003(8)

［2］倪国富、倪一宁．对粒子特殊运动轨迹的讨论．《物理教学探讨》，2004（10)

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