一道高考立体几何题的推广

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2004年高考湖北卷数学第11题：已知平面α与平面β所成的二面角为80°，P为α，β外一定点，过P的一条直线与α，β所成角都是30°，则这样的直线有且仅有（）．

（A） 1条（B） 2条

（C） 3条（D） 4条

1 试题溯源

此题很容易让人联想到1993年全国高考理科数学第18题：

已知异面直线a与b所成的角是50°，P为空间一定点，则过P点与a,b所成的角都是30°的直线有且只有（）．

（A） 1条（B） 2条

（C） 3条（D） 4条

该题推广到一般情况是：空间两条所成的角为θ的异面直线a、b，过空间一点O与这两条异面直线所成的角均为φ的直线有几条？其答案如下：

图1

如图1异面直线a与b所成的角为θ，过点O分别作a与b的平行线OA与OB，则过O点与直线OA、OB所成的角分别与异面直线a、b所成的角相等．

易知过点O与直线OA、OB所成的角相等的直线OC

图2图3

在过∠AOB的平分线OD且与面AOB垂直的平面OCD内（图2），或在过∠AOB的补角平分线OD′且与面AOB垂直的平面OC′D′内（图3）．

在平面OCD内的直线OC与OA、OB所成的角的范围是［θ2,90°］，平面OC′D′内的直线OC′与OA、OB所成的角的范围是［90°-θ2,90°］，

因为0°＜θ≤90°，

所以 ① 0°＜θ＜90°（θ2＜90°-θ2)时，

有以下的结论：

当φ＜θ2时，过点O不存在直线与OA、OB所成的角相等，

当φ=θ2时，在平面OCD内过点O存在1条直线与OA、OB所成的角相等，

当θ2＜φ＜90°-θ2时，在平面OCD内过点O存在2条直线与OA、OB所成的角相等（1993年全国高考理科18题的答案是B）

当φ=90°-θ2时，在平面OCD内过点O存在2条直线与OA、OB所成的角相等，在平面OC′D′内过点O存在1条直线与OA、OB所成的角相等，故过空间点O共有3条直线与OA、OB所成的角相等．

当90°-θ2＜φ＜90°时，在平面OCD内过点O存在2条直线与OA、OB所成的角相等，在平面OC′D′内过点O存在2条直线与OA、OB所成的角相等，故过空间点O共有4条直线与OA、OB所成的角相等．

特别的当φ=90°时，过空间点O只能作1条直线与OA、OB所成的角相等．

② θ=90°时（θ2=90°-θ2）,当φ＜45°时，过点O不存在直线与OA、OB所成的角相等．

当φ=45°时，在平面OCD和平面OC′D′内各存在1条直线与OA、OB所成的角相等，故过空间点O共有2条直线与OA、OB所成的角相等．

当45°＜φ＜90°时，在平面OCD和平面OC′D′内各存在2条直线与OA、OB所成的角相等，故过空间点O共有4条直线与OA、OB所成的角相等．

当φ=90°时，过空间点O只能作1条直线与OA、OB所成的角相等．

2 试题推广

对2004年高考湖北卷数学第11题作如下推广：

推广Ⅰ：设平面α、β相交成二面角为θ(0°＜θ＜90°)，P为α、β外一定点，过点P的一条直线与α、β所成二面角都是φ(0°＜φ＜90°)，这样的直线有多少条？

图4

因为直线和平面所成的角与直线的方向向量和平面的法向量的夹角（取锐角）互余，而两个平面所成的角可转化为这两个平面法向量的夹角，所以问题转化为过点P的平面α、β的法向量a和b夹角为θ(0°＜θ＜90°)，则过点P与a和b或与a与-b夹角都为90°-φ的c有几个？（图4）

显然由上述分析可知：

当90°-φ＜θ2(φ＞90°-θ2）时，这样的c不存在（过点P直线不存在）．

当90°-φ=θ2(φ=90°-θ2）时，这样的c可作1个（过点P直线有1条）．

当θ2＜90°-φ＜90°-θ2(θ2＜φ＜90°-θ2)时，这样的c可作2个（过点P直线有2条）．

当90°-φ=90°-θ2(φ=θ2)时，这样的c可作3个（过点P直线有3条）．

当90°-φ＞90°-θ2(φ＜θ2)时，这样的c可作4个（过点P直线有4条）．易知2004年高考湖北卷数学第11题过P的直线有4条，答案是（D）．

对于该题我们还可讨论平面α、β相交所成二面角为θ (θ=90°)的情况．

当90°-φ＜45°(φ＞45°)时，这样的c不存在（直线不存在）．

当90°-φ=45°(φ=45°）时，这样的c可作2个（直线可作2条）．

当90°-φ＞45°(φ＜45°)时，这样的c可作4个（直线可作4条）．

推广Ⅱ：已知平面α、β相交成二面角为θ(0°＜θ＜90°)，P为α、β外一定点，过点P的平面γ与α、β所成的（锐）二面角都是φ，则这样的平面有多少个？

因为两个平面所成的角可转化为这两个平面α、β的法向量a，b的夹角，所以问题转化为过点P的a和b夹角为θ(0°＜θ＜90°)，则过点P与a和b或与a和-b夹角都为φ的c有几个？显然这就是本文中的“试题溯源”推广题．

推广Ⅲ：已知两条异面直线a,b所成的角为θ(0°＜θ＜90°)，过空间一点P与两条异面直线所成的角均为φ(0°＜φ＜90°)的平面γ有几个？

用向量的角度分析：即过点P的a和b夹角为θ(0°＜θ＜90°)，则过点P与a 和b或与a和-b夹角都为90°-φ的c有几个？即本文的推广Ⅰ，解答同上．

这样，我们完成了对两道高考题的“线线线线线面面面线面面面”的衍变过程，彻底地搞清楚了四个问题的实质．若把这里的角度具体化，便可得到不同的选择题和填空题，依笔者分析的向量方法便能迅速求解．

参考文献

1 陈有功，冯春宝．2004年高考湖北卷的一道题的来龙去脉．数学通讯，2005（1）

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