基于奇异基本矩阵求解法的三维物体重建

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇基于奇异基本矩阵求解法的三维物体重建范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

【摘 要】本文介绍了目前常用的基本矩阵求解技术，并提出新的求解方法；通过对一个墙面进行三维重构，证明了新的方法的有效性。

【关键词】三维物体重建；八点算法；基本矩阵；求解法

一、现阶段基本矩阵的估计技术

对于一个给定的匹配关系集合，可以用集合中的匹配点估计出基本矩阵，估计技术平等地“看待”每对匹配点，认为它们均是正确的匹配关系。常用的估计算法有七点算法和八点算法，后者最为常用。

（一）八点算法

八点算法是Longuet-Higgins首先提出的，原本用来计算本质矩阵，这一算法后来被推广到计算基本矩阵，它是线性运算，计算简单、速度快。

假如我们检测到的每一组图像特征点绝对精确，匹配结果也完全正确，那么无论A包含了多少个点，它的秩一定是8，但是实际上，由于特征点检测的位置不准确、存在误匹配等原因，A的秩总是9，AFs=0无解析解，这时用最小二乘法来求出使

AFs最小的解，同时满足约束F=1，最小二乘解就是

ATA的最小奇异值对应的向量，也可以对A进行奇异值分解得到A=UDVT，取V的最后一列，这样求得的解满足约束F

=1，同时使AFs最小。然后将Fs还原为即可，是基本矩阵的最初值。

（二）规一化的八点算法

八点算法计算简单，缺点是对噪声敏感， 对于这个批评，Richard I. Hartley于1997认为：八点算法对噪声敏感是因为矩阵A条件数不好，是个病态矩阵，他提出在使用矩阵A计算F之前，先通过平移和各向缩放变换使数据规一化。

规一化的思路：首先对图像中的坐标进行平移使点集的质心移到原点；其次对坐标系进行缩放，各个不同的坐标方向均选择相同的缩放因子，使点（x，y，z）T到质心的平均距离等于，这就使得缩放后的点（x，y，z）T中的x、y和z总体上有一样的平均值，意味着所有点的坐标的平均位置为（1，1，1）T。

具体算法如下：假设两幅图像I和I′各自对应的特征点集是S和S′，p和p′是S和S′中一组匹配点p∈S，p′∈S′，S和

S′中包含的匹配点对多于8组且这些匹配点对不位于同一个平面上。

二、改进的奇异基本矩阵求解法

下面给出一个直接求解奇异基本矩阵的算法，本论文在实验过程中就使用了这种方法，算法思路是：设

F= f=（f f f f f f f f f），在满足det（F）=0和f=1的两个约束条件下，求解F使Af最小，这样求出的F自然是奇异的，并把解出的F作为初值进一步迭代优化。

由于det（F）=0是三次约束，所以不能用线性的非迭代算法直接求初值F，但是仍然能够找到一个比较简单的算法。

任何一个奇异矩阵，包括基本矩阵，可以写成F=[e]xM，其中M是一个非奇异矩阵，[e]x是第一幅图像上的极点的反对称矩阵。现在要计算F=[e]xM且满足f=1，由于基本矩阵F是用F=[e]xM求得的，[e]x的秩为2，M的秩为3，所以F的秩为2，det（F）=0约束自动满足。在F=[e]xM中，e和M均未知，先假设e已知，将F=[e]xM改写成下列形式：

f=E·m，其中F= ，M=，[e]= E=，f=（f f f f f f f f f）m=（m m m m m m m m m）

由于f=E·m，原最小化问题就变成了：在约束条件Em

=1下最小化AEm，A就是公式4.14中的N×9矩阵，解决这个问题的算法如下：

首先，对E奇异值分解：E=UDAT，其中对角矩阵D的非零奇异值排列在零值前面。

其次，将U的前r列构成矩阵U′，r=rank（K）。

再次，用奇异值分解求使AU′f′最小化的且满足

f′=1的f′。

最后，令f=U′f′，f就是需要的解，用f可以组成F。

按照上述方法解出了F的初值后，还要做迭代优化。

奇异基本矩阵求解法的全部步骤如下：

第一，利用规一化算法，求出基本矩阵的第一个近似值F0，然后求出极点e0，F0的作用只是求出e0，与后面的计算无关。

第二，用极点e0构建出E0，在约束条件下E0m=1最小化AE0m，约束det（F1）=0自动满足，用前面给出的算法求出f1=E0·m。

第三，用f1组成F1，求出e1，以便于下一次求f2使用。

第四，计算误差ε0=AE0m，如果ε0比较大，就循环到第二步再一次计算f2，这样迭代的变化ei、fi以便最小化ε0，整个迭代过程使用Levenberg-Marquardt算法。

最后求出的就是最优化的解，它满足def（F）=0和F=1两个约束条件。

三、实例验证

为了检测奇异基本矩阵求解法的效果，本文重建了一个三维墙面，先使用普通数码相机拍摄了两张图片，图像如下：

a）左图像 （b）右图像

图1 两幅匹配图像

（a）（b）两幅图中一共找到86个配对角点，重建三维墙面就是以这些配对角点为输入基本信息而展开的逆向工程，其中最关键的步骤就是使用86对角点求解基本矩阵，我们使用本文提出的奇异基本矩阵求解法计算基本矩阵，然后求解本质矩阵、摄像机运动参数等等，最后得到三维墙面结构图如下：

（a） 三维墙面 （b）旋转后的三维墙面

（c）贴图后的三维墙面 （d）旋转后的墙面

图2 OpenGL环境下的重建结果

图2（a）是墙面的三维结构图，为了便于观看，图中已经将其三角化，图2（b）是它在空间旋转后的效果；图2（c）是三维墙面贴纹理后的效果；图2（d）是贴纹理后的墙面在空间旋转的效果，重建的结果是令人满意的，这证明了本文提出的奇异基本矩阵求解法的有效性。

参 考 文 献

[1]张广军.机器视觉[M].北京：科学出版社，2004：105～107h