研究性问题解法初探

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回顾近几年高考教学中的研究性问题，题目本身没有给出明确的结论，只是提出几种可能，需经过观察、分析才能得出解题方法。但并没有像应用题一样，稳中有创新。每年都不外乎归纳型和存在型两类，或者分为条件追溯型、结论探究型、方法探究型。因此，笔者在高三带领学生复习时，针对这些题型进行训练。本文为笔者对这类题型的复习心得，以求同行指教。

一、条件追溯型

这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探究，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，值得注意的是：学生常常会不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件。

例1、（2002年全国文）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

（1）焦点在Y轴上；（2）焦点在X轴上；（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为6；（4）抛物线的通径长为5；（5）由原点向抛物线的过焦点某条直线作垂线，垂足坐标为（2,1），能使这抛物线为y =10x的条件是?摇?摇?摇?摇。（要求填写合适条件的序号）

分析：本题要求学生能从结论出发探求结论成立的必要条件，而后加以对照，可知应填（2）、（5）。

注：对条件或结论不明确的探究性问题，对培养学生的潜能和创新意识，特别是培养学生的探究能力是十分重要的。

二、结论探究型

这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立。解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论。其中反证法在解题中起着重要的作用。

例2、已知函数y＝f（x）＝ax ＋bx＋c的图像过点（－1，0），是否存在常数a、b、c，使得不等式x≤f（x）≤ （1＋x ）对一切实数x都成立。

分析：假设存在符合条件的a、b、c，函数y＝f（x）的图像过点（－1，0），所以

a－b＋c＝0①

又因为不等式x≤f（x）≤ （1＋x ）对一切实数x都成立，取x＝1，得

a＋b＋c＝1②

由①、②得：b＝ ，a＋c＝ ，

f（x）＝ax ＋ x＋（ －a）。

因为不等式x≤f（x）≤ （1＋x ）

即ax + x+( -a)≥xax + x+( -a)≤ （1+x ）对一切实数x都成立，

根据判别式求得a＝ ，从而c＝ 。

故存在常数a＝c＝ ，b＝ 使得不等式x≤f（x）≤ （1＋x ）对一切实数x都成立。

例3、已知双曲线C： - =1的左、右焦点分别为F 、F ，左准线为l，问能否在双曲线的左半支上求得一点P，使|PF |是P到l的距离d与|PF |的比例中项。

分析：在已知双曲线中，a＝5，b＝13，求得c＝13，e＝ 。

假设在左半支上存在P点符合题意，则|PF | =d|PF |，即 = = = ，

所以，|PF |= |PF |。

又由双曲线定义知|PF |－|PF |＝10，

所以，|PF |= ，|PF |= 。

但在PF F 中，|PF |＋|PF |＞2c①

当P在线段F F 上时，

|PF |＋|PF |=2c②

综合①、②得 + ≥26，即 ≥26，此式错误，

所以假设不成立，故符合题中条件的点P不存在。

例4、在直角坐标系xOy中，给定抛物线C：y＝ax ，问是否存在定点M且不垂直于x轴的任意直线与曲线C恒有两个交点A、B，且OAOB？若存在，求出定点M的坐标，若不存在，说明理由。

分析：设存在满足题意的点M，其坐标为（p，q），过点M与x轴不垂直的直线方程为：y＝kx－kp＋q，将其代入C的方程，得：ax －kx＋kp－q＝0，

设其两根为x 和x ，则点M符合题意的充要条件是：对任意实数k恒有

x x +(kx -kp+q)(kx -kp+q)=0?摇?摇?摇（1）=k -4a(kp-q)＞0（x x ≠0）?摇?摇?摇?摇?摇（2）

由（1）?圳pak＋1－qa＝0，要使它对所有k恒成立，必须p＝0，q＝ 。

经验证，此时（2）也成立，故存在符合题意的点M（0， ）。

三、方法探究型

这类问题的基本特征是：给出一定的条件，要求设计一种方案。解决这类问题的基本策略是：运用观察、类比、猜想、模拟等方法探求解题思路，探索成功后再给出证明。

例5、用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2m 的正四棱锥形有盖容器，设容器的高为h，盖子边长为a，容器容积为Vm ，问如何设计容器，使得容器的容积最大？

分析：设h′为正四棱锥的斜高，

由已知得a +4• h′a=2h + a =h′ ，

由此解得 a＝ （h＞0），

V= ha = (h＞0)

得V＝ ，

h+ ≥2 =2

V≤ ，当且仅当h= ，即h＝1时等式成立，

故当h＝1m时，V有最大值，V的最大值为 m 。

注：求某些几何体的体积或某物体的容积的极值，往往用基本的不等式求解。求解的关键是创造几个正数的“和”或“积”是定值这个重要条件，去求出“积”的最大值或“和”的最小值。

解决研究性问题，除采用以上几种常见探究方法外，还可以借助其它一些手段，如利用图形特征，构造模型，利用命题的等价变换等。总之，解决研究性问题，没有现成的套路和常规程序，需要较多数学思想方法的综合应用，在复习时，应以课本为基础，抓住课堂这一主阵地，逐步培养学生分析问题的能力，形成科学的探究问题的方法。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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