函数及其性质
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【例1】 (上海理20)已知函数f(x)=a•2x+b•3x,其中常数a,b满足a•b≠0.
(1) 若a•b>0,判断函数f(x)的单调性；
(2) 若a•bf(x)时的x的取值范围．
解 （1） 当a>0,b>0时,任意x1,x2∈R,x1
则f(x1)-f(x2)=a(2x1-2x2)+b(3x1-3x2)
2x10a(2x1-2x2)
f(x1)-f(x2)
当a
(2) f(x+1)-f(x)=a•2x+2b•3x>0,
当a0时,32x>-a2b,
则x>log1.5-a2b；当a>0,b
点评 本题主要考查指数运算,指数函数图象、函数单调性的定义判断函数的单调性,利用函数单调性求解运算能力,综合应用有关知识的能力。
【例2】 已知函数f(x)=logmx-3x+3.
(1) 若f(x)的定义域为［α,β］,(β＞α＞0),判断f(x)在定义域上的增减性,并加以说明；
(2) 当0＜m＜1时,使f(x)的值域为［logmm(β-1),logmm(α-1)］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由．
解 (1) x-3x+3>0x＜-3或x＞3．
f(x)定义域为［α,β］,α＞3
设β≥x1＞x2≥α,有x1-3x1+3-x2-3x2+3=6(x1-x2)(x1+3)(x2+3)>0，
当0＜m＜1时,f(x)为减函数,
当m＞1时,f(x)为增函数．
(2) 若f(x)在［α,β］上的值域为［logmm(β-1),logmm(α-1)］
0＜m＜1,f(x)为减函数．
f(β)=logmβ-3β+3=logmm(β-1),
f(α)=logmα-3α+3=logmm(α-1).
即mβ2+(2m-1)β-3(m-1)=0,
mα2+(2m-1)α-3(m-1)=0.
又β>α>3，
即α,β为方程mx2+(2m-1)x-3(m-1)=0的大于3的两个根
Δ=16m2-16m+1>0，
-2m-12m>3，
f(3)>0.0＜m＜2-34.
故当0＜m＜2-34时,满足题意条件的m存在．
点评 本题重在考查函数的性质,方程思想的应用。函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组。本题采用了等价转化的方法,借助函数方程思想,巧妙解题。
【例3】 已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3．
(1) 求实数a的值；
(2) 若k∈Z,且k1恒成立,求k的最大值；
(3) 当n>m≥4时,证明(mnn)m>(nmm)n．
解 (1) 因为f(x)=ax+xlnx,所以f′(x)=a+lnx+1．
因为函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3,
所以f′(e)=3,即a+lne+1=3．
所以a=1．
(2) 由(1)知,f(x)=x+xlnx,
所以k1恒成立,
即k1恒成立．
令g(x)=x+xlnxx-1,
则g′(x)=x-lnx-2(x-1)2,
令h(x)=x-lnx-2(x>1),
则h′(x)=1-1x=x-1x>0,
所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递增．
因为h(3)=1-ln30,
所以方程h(x)=0在(1,+∞)上存在唯一实根x0,且满足x0∈(3,4)．
当1
当x>x0时,h(x)>0,即g′(x)>0,
所以函数g(x)=x+xlnxx-1在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增．
所以g(x)min=g(x0)=x0(1+lnx0)x0-1
=x0(1+x0-2)x0-1=x0∈(3,4)．
所以k
故整数k的最大值是3．
(3) 证明1 由(2)知,g(x)=x+xlnxx-1是［4,+∞)上的增函数,
所以当n>m≥4时,n+nlnnn-1>m+mlnmm-1．
即n(m-1)(1+lnn)>m(n-1)(1+lnm)．
整理,
得mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn+(n-m)．
因为n>m,所以mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn．
即lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn．
即ln(nmnmm)>ln(mmnnn)
所以(mnn)m>(nmm)n．
证明2 构造函数f(x)=mxlnx+mlnm-mxlnm-xlnx,
则f′(x)=(m-1)lnx+m-1-mlnm．
因为x>m≥4,所以f′(x)>(m-1)lnm+m-1-mlnm=m-1-lnm>0．
所以函数f(x)在［m,+∞)上单调递增．
因为n>m,所以f(n)>f(m)．
所以mnlnn+mlnm-mnlnm-nlnn>m2lnm+mlnm-m2lnm-mlnm=0．
即mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn．
即lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn．
即ln(nmnmm)>ln(mmnnn)．
所以(mnn)m>(nmm)n．
点评 本题主要考查指数、对数运算,指数、对数函数图象与性质、导数的概念,导数公式,导数的运算、利用导数研究函数,不等式证明运算求解能力,综合应用有关知识的能力。
实战演练
1. 已知函数f(x)=a-1|x|．
(1) 求证：函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数；
(2) 若f(x)＜2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围．
2. 已知函数f(x)=4x+k•2x+14x+2x+1.
(1) 若对于任意的x∈R,f(x)>0恒成立,求实数k的取值范围；
(2) 若f(x)的最小值为-3,求实数k的值；
(3) 若对于任意的x1、x2、x3,均存在以f(x1)、f(x2)、f(x3)为三边长的三角形,求实数k的取值范围．
读一切好书，就是和许多高尚的人说话。――笛卡尔
【参考答案】
1. (1) 证明：当x∈(0,+∞)时,f(x)=a-1x,
设0＜x1＜x2,则x1x2＞0,x2-x1＞0．
f(x1)-f(x2)=a-1x1-a-1x2
=1x2-1x1
=x1-x2x1x2＜0．
f(x1)＜f(x2),即f(x)在(0,+∞)上是增函数．
(2) 由题意a-1x＜2x在(1,+∞)上恒成立,
设h(x)=2x+1x,则a＜h(x)在(1,+∞)上恒成立．
可证h(x)在(1,+∞)上单调递增．
故a≤h(1),即a≤3,a的取值范围为(-∞,3］．
2. (1) k>-2；
(2) f(x)=4x+k•2x+14x+2x+1=1+k-12x+12x+1,令t=2x+12x+1≥3,则y=1+k-1t(t≥3)；
当k-1>0,即k>1时,y∈1,k+23,无最小值,舍去；
当k-1=0,即k=1时,y∈1最小值不是-3,舍去；
当k-1
综上k=-11;
(3) 因对任意实数x1、x2、x3,都存在以f(x1)、f(x2)、f(x3)为三边长的三角形,故f(x1)+f(x2)>f(x3)对任意的x1、x2、x3∈R恒成立.
当k>1时,因2
k=1时,因f(x1)=f(x2)=f(x3)=1,满足条件；
当k
综上所述：-12≤k≤4.