一节没有“完成任务”的数学课

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周一上午第三节是高二（1）班的数学课，按照教学计划，这节课学习的内容是椭圆离心率范围的相关问题.首先与学生们一块学习了例题1.

例1：已知椭圆的方程为 ，它的两个焦点分别为F1和F2，如果椭圆上存在M，使得 ，求椭圆离心率的取值范围.

解法一：设|MF1|=r1，|MF2|=r2，|F1F2|=2c，由余弦定理，有 ，又r1+r2=2a

，

即a2≤4c2，

又0

解法二：由于当点M位于短轴端点B时，∠F1MF2为最大.故欲使椭圆上存在点M，使得 ，只需要 .此时， .又0

对于这两种解法，学生表示毫无压力.讲解完以上两种方法之后，接着给出例题2.

例2：已知椭圆的方程为 ，A、B是其长轴的两个端点，如果椭圆上存在Q，使得∠AQB=120°，求椭圆离心率的取值范围.

给学生一段时间思考后， 有些学生得出了正确答案.

李韶颖：这个题目和上面

的那个是一样的，当点Q到达短轴端点C的时候，只要令∠ACB≥120°就可以.

教师提问：能说说其中缘由吗？

李韶颖：因为当点Q在椭圆上运动，只有当它到达短轴端点，也就是点C的时候才会最大.所以只要∠ACB≥120°就可以了.

教师提问：为什么此时∠ACB最大？

李韶颖：……

教师提问：其他同学的看法如何？

田雨：当点Q沿着椭圆向点B运动的时候，OQ的长度越来越接近OB，那么∠OQB和∠OBQ就越来越接近.

教师提问：是这样的.能接着说明为什么∠ACB最大吗？

田雨：……

教师提问：看来大家在这个问题上遇到了一些障碍.好吧，接下来请大家自由讨论一下，看能不能解决它.

一段时间后，教师提问：大家讨论的结果如何？

李佳钊：老师我有个证明的

方法.以原点为圆心，以半短轴长为半径做圆.连接OQ并延长交O于点M，连接AM、BM.

则∠AMB=90°.由于|OQ|

于是根据平面几何知识可知

∠AQB>∠AMB.当|OQ|最短的时候，

∠AQB就达到最大.而当点Q位于短轴端点C时候就是最短的.|OQ|2=（acosθ）2+（bsinθ）2所以此时∠ACB最大.

教师提问：为什么点Q位于短轴端点时候就是最短的？此时∠ACB为什么最大？

李皓楠：设Q（acosθ，bsinθ）， 则

|OQ|2=（acosθ）2+（bsinθ）2=（a2-b2）cos2θ+b2.

当cosθ=0时，|OQ|达到最小值b.此时，θ=90°，也就是点Q恰好位于短轴端点.

教师提问：解决得很好.接下来这个题目由同学们自行解决.

同学们解决以后，教师再提供利本题利用椭圆上点的坐标范围求解的思路和过程.

到此为止，这节课时间已经接近尾声了，而本节课最精彩的部分也完全呈现在同学们面前.其实本节课的最初的教学设计是讲解完例1和例2以后再继续讲解两个利用椭圆范围求最值的问题.但是由于同学们在课堂上对于例2提出了新的解法，于是课堂上就沿着学生们的思路进行了阐述，进而引发了对本题更深入的探究.正因为这样，所以才使得本节课没有按照最初的教学设计来进行.从这个角度来看，本节课没有完成教学任务，但是，正因为这个“没完成”，才使得学生们的思维得到了扩张与训练，不仅顺利地解决了数学问题，而且大家都积极地投入到思考当中，课堂节奏出现了明显的起伏，下课后每个同学都觉得自己得到了不少新知，积极参与其中的学生更是感觉意犹未尽.《新课标》指出，高中数学的目的是提高学生作为一个“自然人”的数学素养，要训练学生的数学思维，让学生学会“按照数学的方式去思考问题”.显然，这样的目标不是通过做题就能达到的.机械的训练只会让学生成为做题的机器，学生的思维被教师所左右，即使自己的思想有亮点，恐怕也来不及发光就会湮灭.这样何谈提高学生的数学素质呢？所以，真正地把课堂还给学生不应该成为一句口号而应该成为每一位教师真正思考并付诸实施的行动.这样才能真正地实现因材施教，人尽其才。