基于FFT的电力谐波分析方法研究
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【摘 要】大量电力电子装置的迅速普及使得电网的谐波污染日益严重，谐波影响电力设备的安全使用，也对周围的通信系统和电网以外的设备带来危害。谐波危害的严重性已引起人们的高度关注，出现了一些针对谐波的分析方法，本文介绍了FFT（快速傅立叶变换）算法及非整数次谐波频谱泄漏现象的缺点，分析了基于fft的电力谐波分析方法，并模拟了高次谐波进行采样计算，得出了谐波有效值及谐波畸变率，满足电力系统对谐波分析的要求。
【关键词】FFT；电力谐波；分析
1 引言
我国的电力系统额定频率为50Hz，在完全理想的情况下，电流具有单一而固定的频率以及规定的电压幅值。随着电力电子器件和非线性元件的广泛使用，且容量越来越大，由此造成德电力系统谐波污染问题越来越严重，也越来越复杂。在电网中大量地存在着大量非整数和分数次谐波，给电网带来了极大的污染，严重影响了电力系统的安全经济运行。谐波影响各种电气设备的正常工作.谐波对电机的影响除引起附加损耗外，还会产生机械振动、噪声和过电压，使变压器铁损增大可能出现局部严重过热。谐波使电容器、电缆等设备过热、绝缘老化、寿命缩短，以至损坏；谐波会引起电网中局部的并联谐振和串联谐振，从而使谐波放大，大大增加对设备的影响，甚至引起严重事故；谐波使电网中的元件产生了附加的谐波损耗，降低了发电、输电和用电设备的效率，大量的3次谐波电流流过中性线时会使线路过热，甚至发生火灾；谐波会对邻近的通信系统产生干扰，降低通信质量，甚至导致信息丢失、使通信系统无法正常工作。因此我们必须对这些谐波进行治理。谐波是一个周期电气量的正弦波的分量，其频率是基波频率的整数倍，谐波的次数必须是个正整数。电力谐波的检测和分析是实现谐波治理的前提条件，只有准确的谐波检测和分析才能够为谐波治理提供良好的依据。现在，电力系统谐波问题己成为研究的热门课题，而谐波检测更是谐波问题的一个重要分支，也是研究分析谐波问题的出发点和主要依据。
2 FFT算法
目前常用的谐波检测分析方法是快速傅立叶变换（FFT）。虽然FFT算法能够实现整数次谐波的精确分析和检测，但是对于非整数次谐波的检测，FFT算法存在着严重的频谱泄漏和栅栏现象，从而使检测出谐波的幅值、相角和频率都存在着较大误差，因而不能够满足检测精度的要求。利用插值修正算法可以有效地解决栅栏问题，但是不能消除因频谱泄漏现象而导致的测量误差。利用加窗算法可以大大减少频谱泄漏误差。
FFT算法产生频谱泄漏现象的原因是由于理论的傅立叶变换值与实际工程应用的傅立叶变换的不同而造成的。理论的傅立叶变换是对整个时域信号的变换，但实际工程中应用的FFT算法只能对有限长度的信号进行变换。有限长度的信号在时域上相当于无限长信号与矩形窗信号的乘积，而时域的乘积运算对应傅立叶变换结果的卷积运算，因此利用FFT算法得到的傅立叶变换结果相当于实际信号的傅立叶变换与矩形窗傅立叶变换的卷积，并不等于实际信号的傅立叶变换。这样利用FFT算法分析非整数次谐波时就会存在频谱泄漏和栅栏现象。具体分析如下：
对应一个幅值为 ，频率为 ，相角为 的无限长谐波信号 ，如公式（1）所示。其傅里叶变换对应的是一条位于频率 处的谱线。
而对于长度为T的矩形窗函数 ，如公式（2）所示，其傅立叶变换对应Dirichlet函数，如公式（3）。
长度为 的有限长信号 相当于无限长信号 与矩形窗 时域的乘积，而时域的乘积对应傅立叶变换的卷积，因此有限长信号 及其傅立叶变换可以分别用公式（4）和公式（5）表示。
公式（5）表示的是一个连续复函数，对应利用傅立叶变换得到的信号的连续频谱。
FFT算法是傅立叶变换在工程应用中的实现算法。利用FFT算法，可以得到对应 的离散频谱（其中n=1，2，3…n，n为采样点数，T是采样时一间）。设被检测谐波的角频率 ，利用FFT算法得到的频谱分布可以用序列 来表示：
由公式（7）可知：如果 为整数，即被检测谐波为整数次谐波时，利用FFT算法得到的频谱分布为一条谱线，利用这条谱线相关的参数就可以求出整数次谐波的频率、幅值和相角。因此利用FFT算法可以实现整数次谐波的检测精确。但是对于非整数次谐波，即k不是整数时，利用FFT算法得到的频谱分布比较复杂。设 （其中 为整数，而 ），则谐波信号的频谱分布为
由公式（9）可知：非整数次谐波的频谱分布不是集中在一条谱线上，而是在整个频域内分布。第n条谱线的幅值与 成反比。 或 对应的谱线的幅值最大，然后随着 的增加，相应谱线的幅值按 的倒数，即 的速度衰减。由此可知，利用FFT算法得到的非整数次谐波的频谱分布，不是对应一条谱线，而是反映到整个频域内分布，这就是频谱泄漏现象。频谱泄漏造成谐波频谱的相互干扰，从而影响谐波的检测精度。但是一般情况下电网控制频率波动范围不超过0.2Hz，同时计算时长可以高速处理器进行运算，故FFT算法在电网中应用不存在技术上的障碍。
3 基于FFT的电力系统谐波分析方法
3.1 准同步采样算法
准同步采样的最大特点是去掉了同步采样中的同步环节，利用增加每周期的采样点和增加采样周期，并采用新的算法，来达到消除同步误差的目的。但是，由于准同步算法其思想是通过迭代运算，以矩形法或梯形法求，面积和代替离散求和，以牺牲时间换取精度，计算量大，实时性不好。
3.2 加窗插值算法
从时域来看，加窗函数实际上就是让周期信号的起始点和终止点的相位为零，克服由于频率波动造成的采样信号相位在起始点和终止点不连续的现象。通过构建窗函数，用加窗法可大大减小频谱泄漏，再插值可有效地抑制谐波之间的干扰和杂波及噪声的干扰，从而可以精确测量到各次谐波电压和电流的幅值及相位。通常要求窗函数主瓣窄，旁瓣低且跌落速度快。不过对于同一窗函数很难同时满足这几个要求。插值算法常用的窗函数有Hanning窗、Blackman窗、Blackman-Harris窗、Rife-Vincent窗、Nuttall窗、Kaiser窗等。这些函数统称为余弦窗，余弦窗的时域表达公式为：
其中，
公式中：k为余弦窗的项数。为方便进行插值计算，系数 有如下限制： 。不同k和系数 决定了不同的窗函数。
插值算法分为单峰谱线插值算法和双峰谱线插值算法。当选择窗函数解析公式较为简单时，比如矩形窗、汉宁窗恩，单峰谱线插值算法能够在一定程度上补偿短范围泄漏造成的影响，从而改善分析结果。但是当选择解析形公式较为复杂的窗函数时，比如Nuttall窗等，则难以获得解析解。这时，则应选择双峰谱线插值算法来对结果进行修正。因为双峰谱线修正算法是直接对两根谱线幅值进行加权平均，从而计算出实际的峰值点的幅值。同时它也克服了单峰谱线修正算法易受到频谱泄漏和噪声干扰影响的缺点。
综上所述，现有加窗插值算法有较早提出的解析公式较为简单的算法——汉宁窗插值算法、海明窗插值算法等。这些算法运算简单，计算量较小，比早期的准同步采样算法在检测谐波精度和计算量上有了显著的提高；如今，加窗插值算法在运算准确度和运算时间上又有了进一步的提高。余弦窗函数随着余弦窗项数 值的增加，余弦窗抑制频谱泄漏的能力越强，但与此同时，余弦窗函数表达公式也越复杂。当采用双峰插值算法修正结果时，就可以很好的解决运算时间长的问题。这样的加窗插值算法有：Kaiser窗双谱线插值FFT的谐波分析方法、Nuttall窗双峰谱线插值FFT的谐波分析方法等。
4 实证分析
为了验证FFT结果和谐波分析的结果的正确性，计算2次至19次电力谐波及谐波畸变率。设定对电流进行64点采样，采样频率设定为3.2kHz，则点n的频率为Fn=（n-1）*3200/64=50（n-1）。模拟了基波电压信号叠加19次谐波信号，y=150sin（2π50t）+2sin（2π100t）+3sin（2π150t）+4sin（2π200t）+5sin（2π250t）+6sin（2π300t）+7sin（2π350t）+8sin（2π400t）+9sin（2π450t）+10sin（2π500t）+11sin（2π550t）+12sin（2π600t）+13sin（2π650t）+14sin（2π700t）+15sin（2π750t）+16sin（2π800t）+17sin（2π850t）+18sin（2π900t）+19sin（2π950t）。按照以上条件编制计算程序，程序计算分析结果如表1所示。
从程序结果可以看出，基于FFT算法的电力谐波分析方法能识别出基波的幅值和各次谐波的幅值，利用他们可以计算出有效值和谐波畸变率。
5 结束语
基于FFT的电力谐波测量方法精度较高，功能较多，使用方便，在程序编写上也比较容易实现。本文在FFT算法特点的基础上，研究了基于FFT算法的电力系统谐波分析方法，用实例验证了算法的可用性和准确性。随着电能质量谐波问题的日益严重，以及广大用户对电能质量要求的不断提高，有关电能质量谐波问题的研究将会不断深入。
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