“久考不衰”的开放、探索性问题
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实际上，开放性问题是指那些答案不唯一的题目，而探索性问题是指那些结论不明确、需要先探索出结论再加以说明的题目.但是，解前者时，往往要先探索出符合题意的答案所满足的一般条件，再具体化，因此具有一定的探索性；而解后者时，往往要采用一些非常规的方法，如合情推理（即归纳、类比等）、“直接假设”等，先得出结论，因此在方法上具有一定的开放性.总之，这类问题立意于对发散思维能力的培养和考查，答案开放，解法灵活，形式新颖，没有统一的解题模式；因此它可以考查和区分同学们的数学素质和创新能力；于是它逐渐受到各方面的重视，近年来已成为高考试卷中的一个新“亮点”.
常见的开放探索性问题一般可分为三类：（1） 探索结论的开放性问题；（2） 探索条件的开放性问题；（3） 探索规律（或策略）的探索性问题.
一、 结论开放的探索性问题
解决这类问题时，要注意联想类比、特例归纳、等价转化、数形结合等思想方法的运用.
例1 已知α,β是实数，给出下列四个论断：
（1） |α+β|=|α|+|β|；（2） |α-β|≤|α+β|；
（3） |α|＞22,|β|＞22；（4） |α+β|＞5.
以其中的两个论断为条件，其余的两个论断为结论，写出你认为正确的一个命题： .
解析显然，（1）与（2）等价，它们的含义均为：α,β同号.而在此前提之下，由（3）必可推出（4），所以正确的命题有：（1）（3）（2）（4）和（2）（3）（1）（4）.
点评解这类只给出了一个特定的情境，而命题的条件、结论及推理论证的过程均不确定的开放性试题时，应该回顾相近的题型、结论、方法，进行类比猜想，然后在给定的情境中，去假设，去尝试，去调整方法，去确定结果.
图1
例2 如图1，请在正方体ABCDA1B1C1D1中，找出一个过顶点A的平面，使该平面与该正方体的12条棱所成的12个角都相等： .（写出你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况）
解析正方体的12条棱可分为3组，每组的4条棱相互平行，所以只需考虑与过同一顶点的三条棱所成的角相等的平面.
正方体是我们较为熟悉的基本图形之一，不难知道，平面ACB1符合条件（与BA，BC，BB1所成的角相等），平面ACD1，平面AB1D1也都符合条件.
例3 若一个四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积可能等于 .（只需写出一个可能的值）
解析由于四面体的棱长没有一一给出，于是首先需要探求和设计符合题意的几何图形，再“按图索骥”，得出结论.
本题只要求写出一个可能的值，所以我们可以尽量构造相对简单、易求体积的图形.如：使底面边长均为1，侧棱长均为2.不难算得此时体积为1112.
延伸我们来考虑所有符合题意的图形.
由于三角形的任两边之和大于第三边，所以组成该四面体四个面的四个三角形或者是一边长为1、另两边长均为2，或者是三边长全为1.
如果这些三角形中，有一个边长为1的正三角形，则将其作为底面，考虑该四面体的三条侧棱长，共四种情况：两条长为1，一条长为2；一条长为1，两条长为2；三条长全为2.不难知道只有最后一种情况可能.
如果这些三角形中，不存在边长为1的正三角形，则该四面体只有两种可能的情况：一组对棱长为1，其余棱长为2；一条棱长为1，其余棱长为2.
综上，共3种情况.
图2
如图2所示，其体积分别为1112,1412,116.
点评解本题时，一方面，当然要最快地找到一个可能的结果，另一方面，如果能抓住条件中的影响结果确定性的动态因素，全面地考察问题的各个方面，则不仅可以训练思维的全面性，而且可以纵观全局，从整体上对相关知识有一个更好的理解.
二、 条件开放的探索性问题
解决这类问题时，常采用分析法，从结论和已知的条件入手，执果索因，导出所需的条件.
例4 在四棱锥PABCD中，四条侧棱长都相等，平面ABCD是梯形，AB∥CD，AB＞CD.为保证顶点P在平面ABCD上的射影O在梯形ABCD的外部，梯形ABCD需满足条件 .（写出你认为正确的一个条件即可）
解析条件可以给我们以启示.由于四棱锥的四条侧棱长都相等，所以顶点P在平面ABCD上的射影O到梯形ABCD四个顶点的距离都相等.于是梯形ABCD必须有外接圆（圆心是点O）.显然，梯形ABCD必须为等腰梯形.
结论要求点O在梯形ABCD的外部，于是我们只需找出这个结论的一个充分条件.
图3
如图3，点B，C应该在外接圆O的直径AE（过点A）的同侧.不难发现当∠ACB＞90°（等价于∠ADB＞90°）时,可满足题意.
点评本题结论明确，需要寻找使得结论成立的充分条件.
例5 把下面这个不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数f(x)=3+log2x的图象与函数g(x)的图象关于 对称，则g(x)= . （填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）
答案 若函数f(x)=3+log2x的图象与函数g(x)的图象关于x轴对称，则g(x)=-3-log2x；
若函数f(x)=3+log2x的图象与函数g(x)的图象关于y轴对称，则g(x)=3+log2(-x)；
若函数f(x)=3+log2x的图象与函数g(x)的图象关于原点对称，则g(x)=-3-log2(-x)；
若函数f(x)=3+log2x的图象与函数g(x)的图象关于直线y=x对称，则g(x)=2x-3.
当然，还有更复杂的对称轴和对称中心，这里不一而足.
点评若把条件开放型问题和结论开放型问题统称为一维开放型问题，则兼有这两个类型特点的问题，即条件与结论同时开放型问题可称为二维开放型问题.求解这类题目时，有着更为广阔的探索空间，注意要驾轻就熟，避繁就简，回答自己最熟悉的情形，从而提高解题的准确度与速度.
例6 已知函数f(x)=log12(x+1)，当点P(x0,y0)在y=f(x)的图象上移动时，点Qx0-t+12,y0
(t∈R)在函数y=g(x)的图象上移动.
（1） 求函数g(x)的解析式；
（2） 当t＞0时，试探求一个函数h(x)，使得f(x)+g(x)+h(x)在限定定义域为［0,1)时有最小值而没有最大值.
解 （1） 设Q(x,y)在y=g(x)的图象上,
则x=x0-t+12,y=y0,即x0=2x+t-1,y0=y.
而P(x0,y0)在y=f(x)的图象上，所以y0=log12(x0+1).
将上式代入，得y=g(x)=log12(2x+t).
（2） h(x)=log121-x2x+t，或h(x)=log1232-x2x+t等.
证明如下：当h(x)=log121-x2x+t时，f(x)+g(x)+h(x)=log12(x+1)+log12(2x+t)+log121-x2x+t=log12(1-x2).
因为1-x2在［0,1)上单调递减，所以1-x2∈（0，1］，故log12(1-x2)∈［0,+∞)，即f(x)+g(x)+h(x)有最小值0，但没有最大值.
点评在探求h(x)时，要考虑以下因素：① h(x)在［0,1）上必须有意义（否则不能参加与f(x)+g(x)的和的运算）；② 由于f(x)和g(x)都是以12为底的对数，所以构造的函数h(x)应是以12为底的对数，这样进行与f(x)+g(x)的和的运算便可转化为真数的积的运算；③ 以12为底的对数函数是减函数，只有当真数取到最大值时，对数才能取到最小值；④ 为方便起见，可以考虑通过乘积消去g(x)中含有的参数t；⑤ 乘积的结果可以是关于 x的二次函数，该二次函数的图象的对称轴应在直线x=12的左侧（否则真数会有最小值，对数就有最大值了）.
三、 探索规律（或策略）的问题
取特例、观察、归纳、类比、猜想、假设、证明等是解决探索性问题的重要思维策略.也是高考考查的热点.
例7 给出下列不等式：23+53＞22×5+2×52，24+54＞23×5+2×53,252+552＞22×512+212×52，….请将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使上述不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 .
解析由“23+53＞22×5+2×52”,“24+54＞23×5+2×53”,“252+552＞22×512+212×52”,可得推广形式的最基本的印象：应具有“+＞×+×”的形式.
再分析底数间的关系，可得较细致的印象：应具有“a+b＞a・b+a・b”的形式.
再分析指数间的关系，可得准确的推广形式：am+n+bm+n＞ambn+anbm(a,b＞0,a≠b,m,n＞0).
点评本题是填空题，只须探索结论，无须说明理由.故类比推理是最好的解决方法.
例8 在y轴的负半轴上任取一点A(0,m),过点A作抛物线y=ax2(a＞0)的切线，切点为C，交x轴于点B,设F为该抛物线的焦点.
（1） 证明：B为线段AC的中点；
（2） 问：是否存在实数λ，μ，使得（λFA+μFC）・AC=0.
解析（1） 略.
（2） 由题意，得F0,14a，C±-ma,-m，
不妨取C-ma,-m，又A(0,m)，则FA=0,m-14a，FC=-ma,-m-14a，AC=-ma,-2m.
假设存在满足题意的实数λ,μ,则λFA+μFC=μ-ma,λm-14a-μm+14a,
则(λFA+μFC)・AC=m(λ-μ)・12a-2m=0.
又因为m
点评先假设，再求值.
例9 已知等差数列{an}的首项为a，公差为b；等比数列{bn}的首项为b，公比为a，a，b∈N*，且a1
（1） 求a的值；
（2） 若对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得am+3=bn，求b的值；
（3） 甲说：一定存在b，使得2an＞b2n对n∈N*恒成立；乙说：一定存在b，使得2an
解析（1） 过程略，a=2.
（2） 过程略，b=5.
(3) 假设甲的说法正确，即存在b（b≥3且b∈N*）,使得22+(n-1)b＞b2・22n-2，也即22+(n-1)(b-2)＞b2对n∈N*恒成立.
当n=1时，有22＞b2，故b无解.
所以甲的说法不正确.
再假设乙的说法正确，即存在b（b≥3且b∈N*）,使得22+(n-1)b
当n=2时，有2b
所以乙的说法也不正确.
点评先假设，再用特例推出矛盾.
1 若符号“*”表示求两个实数的算术平均数的运算，即a*b=a+b2，则对任意3个实数a，b，c都能成立的关于a,b,c的两边均含有运算符号“*”和“+”的一个等式可以是 .
2 已知曲线C1和C2的方程分别为F1(x,y)=0和F2(x,y)=0，则点P(a,b)C1∩C2的一个充分条件为 .
3 已知命题A：底面为正三角形，且顶点在底面上的射影为底面之中心的三棱锥是正三棱锥.则命题A的等价命题可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥.
4 已知元素为实数的集合S满足下列条件：① 1，0S；② 若a∈S，则11-a∈S.若非空集合S为有限集，则你对集合S的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测.
5. 如图4，过椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”.
图4
(1) 求椭圆x25+y2=1的“左特征点”M的坐标；
(2) 试根据(1)中的结论，猜测椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的“左特征点”M是一个怎样的点？并证明你的结论.
6. (1) 证明：当a＞1时，不等式a3+1a3＞a2+1a2恒成立.
(2) 要使不等式a3+1a3＞a2+1a2恒成立，能否将条件“a＞1”适当放宽？若能，请写出放宽后的条件并说明理由；若不能，请说明理由.
(3) 请根据(1)、(2)中的证明或说明，写出一个类似的更为一般的结论，并给予证明.