一道错解概率题的剖析及释因

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1 机缘巧遇

一位同行在网上向笔者询问《2011年长沙市高考模拟试卷（理科）数学（I卷）》第18题第（Ⅱ）问的解答是否合理，因此引发了笔者的一些思考.为了陈述方便，先将原文呈现这一试题.

为此，笔者提供了一个鉴别的办法：分别去计算各个积分的概率，如果和不等于1，一定是解法出问题了.由于分类众多，一时难以计算，也就搁置下来.

2 思绪困绕

此题虽然搁置下来，但困惑一直缠绕心头：此题解答真的有问题么？作为一个大市级高考模拟测试试题，影响力大，流传面广，难道没有教师能够发现其中的问题？

5 优化提升

但这样一来，作为试题，计算成为学生不应承受之繁.如何来优化条件，使结果的计算变得简便可行？回顾解题过程，计算繁杂的原因在于6类“A，B处分别投篮次数”事件发生的概率各不相同，与其它数据相结合，稍显难算，如果这6类事件的发生的概率等同，计算复杂程度则明显下降.以这样的目标来改造题设中的条件，可将题目中的条件“投篮点自由选择，共投篮5次”置换为“共投篮5次，先在A处随机选择投篮次数，剩余次数再在B处投篮，可以只在其中一处投篮”.

6 以思为鉴

原题的解答由于种种原因产生了不应出现的错误，产生错误的根源是什么？作为命题者在创设新题时如何来避免这类错误？

首先，防止思维上的疏忽导致思考问题的不全面.排列组合、概率类型的问题往往容易产生似是而非的想法，从而产生貌似正确的解法，这类错误一旦产生，由于隐蔽性强，加上思维认知有惯性，就难以从思路分析上去纠正.

其次，这类错误可以从计算层面来发现和排除.排列组合、概率类型的问题只要根据解题思路进行细分，借助于相关性质，总可以由计算结果的不合理来发现在思路中存在的疏漏.但由于本题投篮次数较多，导致产生的积分情况有15种，不同的互斥事件有56个，情况复杂，计算麻烦，在有限的命题时间里有意无意忽略了此验证步骤，从而错过发现错误的机会，其实可以通过减少投篮次数（如2次）来计算所有互斥事件的概率之和，验证解题的思路，是可以避免这个错误的.

最后，命题小组成员彼此的独立思考、相互验证也显得非常重要.