“构造”能筑出高分“大厦”

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【例1】如图，底面为菱形的直四棱柱ABCDA1B1C1D1 中，E、F分别为A1B1、B1C1的中点，G为DF的中点.

（1）求证：EF平面B1BDD1；

（2）过A1、E、G三点平面交DD1于H，求证：EG∥A1H.

分析（1）易证AC平面B1BDD1，EF∥AC；

（2）我们从结论出发，要证EG∥A1H，先证EG∥平面ADD1A1；接下来关键是找一条在平面ADD1A1内与EG平行的直线。

（1）证明：底面ABCD为菱形，ACBD.

E、F分别为A1B1、B1C1的中点，EF∥AC，EFBD.

ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，EFBB1，EF平面B1BDD1.

（2）延长FE交D1A1于Q，连接DQ，

E为A1B1的中点且D1A1∥B1C1，

QA1E∽FB1E，E为FQ的中点.

又G为DF的中点，EG∥DQ，EGADD1A1，DQADD1A1，EG∥平面ADD1A1.

EG平面A1EGH，平面A1EGH∩平面ADD1A1=A1H，EG∥A1H.

点拨本题除了上述解法还可以这样来证明：构造一个辅助平面α，EGα，面α∥平面A1EGH，利用面面平行的性质定理得出结论。

【例2】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点.

（1）求证：BE∥平面PDF；

（2）求三棱锥PDEF的体积.

分析（1）证明线面平行首先应想到找线线平行，取PD的中点G，构造平行四边形FBEG；

（2）求三棱锥的体积通常通过顶点转换置换为一个易求高的三棱锥。

本题利用（1）的结论VP-DEF=VE-PDF=VB-PDF=VP-BDF.

（1）证明： 取PD的中点G，连FG、EG，

E、G分别为PC、PD的中点，EG∥DC且EG=12DC.

又FB∥DC且FB=12DC，四边形FBEG为平行四边形，BE∥FG，

又FG平面PDF，BE平面PDF，

BE∥平面PDF.

（2）由（1）知，点E到平面PDF的距离等于点B到平面PDF的距离，VP-DEF=VE-PDF=VB-PDF=VP-BDF，PA平面ABCD，PA为三棱锥P-BDF的高，且PA=1.

BDF的面积为32，

VP-BDF=13Sh=36.

点拨（1）也可以取DC的中点H，构造面面平行，从而得到线面平行；

（2）对理科生而言，若感觉求三棱锥的高比较困难时，不妨尝试建立空间直角坐标系来求解点到面的距离即为高。

一般方法：线线关系、线面关系、面面关系三者中，每两者都存在着依存关系，充分运用这些关系进行等价转换是解题的关键。如在空间证线线平行时，往往通过中位线、平行四边形、线面平行、面面平行得到，求点到面的距离常转化为从不同角度求几何体的体积来获得。牛刀小试

1. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=3 cm，AA1=2cm，则四棱锥ABB1D1D的体积为 cm3.

2. 如图，四边形ABCD为正方形，EA平面ABCD，EF∥AB，AB=4，AE=2，EF=1.

（1） 求证：BCAF；

（2） 若点M在线段AC上，且满足EM∥平面FBC；求CM∶CA.

（3） 试判断直线AF与平面EBC是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由.

3. 如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分别是棱BC、AB