电荷在有界磁场中磁偏转最值问题探析

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电荷在有界磁场中发生磁偏转，受到外界条件的限制和自身运动初始条件的制约，包括磁场区域的有界性、磁场强度的大小和初速度大小以及方向的相关要求，使粒子在规定的空间内发生磁偏转。依据实际发生的物理场景，主要分为：有界磁场分布区域面积的最值问题和粒子的初始运动状态的边界极值问题两大类。

1 有界磁场分布区域的最值问题

该类问题主要解决外界提供什么样以及多大的磁场，使运动电荷在有限的空间完成规定偏转程度的要求，一般求解磁场分布区域的最小面积，它在实际中的应用就是磁约束。

容易混淆点是：有界磁场的圆形区域与粒子运动径迹的圆弧。解决的方式就是加强有界磁场圆形区域与粒子运动径迹所在圆的圆心以及半径的对比。

原型启发 如图1所示是某一粒子速度选择器原理示意图，在一半径为R=10cm的圆柱形筒内，有一磁感应强度为B=10-4T 的匀强磁场，方向平行与轴线，在圆柱筒某一直径两端开有小孔，作为入射孔和出射孔，粒子束以不同的角度入射，最后有不同速度的粒子束射出，现有一粒子源发射荷质比为2×1011C/Kg的阳离子，且离子中速度分布连续，当角度θ=45°时，出射速度v的大小是多少？

解析：已知带电粒子进入磁场时的速度和出磁场时经过的点，过入射点做速度的垂线，和入与出两点连线的中垂线相交于O1点则为粒子运动轨迹的圆心。

r=mvqB ，所以运动轨迹如图AMD所示（区别于有界磁场的圆弧），在qm一定的前提下，r∝v ，故不同的速度对应不同的半径，将从不同位置射出，故成为速度选择器的一种（异于平衡态下直线运动状态下qE=Bqv的速度选择器）。

由几何关系可知，粒子运动轨迹所对应的圆心角为α=π2，r=2R=mvqB

解得：v=2RqBm=22×106m/s 。

小结1 磁约束问题主要是指粒子在有限空间内发生磁偏转，通过运动径迹确定轨迹所在圆的圆心角和对应的半径，进而通过半径公式确定相关物理量，这应当是解决此类问题的关键。

在涉及到多方物理过程问题中，依据发生的实际物理场景，寻求不同过程中相衔接和联系的物理量，采用递推分析或者依据发生的阶段，采用顺承的方式针对不同阶段进行分析，依据不同的运动规律进行解决，这应当是解决此类问题的根本。

例1 如图2所示，纸平面内有一带电粒子以某一速度做直线运动，一段时间后进入一垂直于纸面向里的圆形匀强磁场中（图中未画出磁场的区域），粒子飞出磁场后从上板边沿平行于板面进入两面平行的金属板间，两金属板带等量的异种电荷，粒子在两板之间经偏转后恰从下板右边缘飞出。已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，其重力忽略不计。粒子进入磁场前的速度方向与带电极板成θ=π3，匀强磁场的磁感应强度为B，带电极板长为 ，板间距为d，板间电压为U，试解答：

⑴上金属板带什么电？

⑵粒子刚进入金属板时速度为多大？

⑶圆形磁场区域的最小面积为多大？

分析 带电粒子先后做匀速直线运动、有界磁场中的磁偏转（匀速圆周运动）和平行板间的电偏转（类平抛运动）三种运动形式。已知磁偏转中射入与射出速度的方向，但有界磁场分布空间在哪？区域面积有多大？即运动电荷从何处进入与从何处射出均不知。虽然磁偏转中的末态速度方向平行于极板沿上沿进入，但在何处变为水平仍然是未知的问题，因此本题求解需要先从已知量较多类平抛运动，即电偏转甲图开始入手，以此为乙图和丙图。整个发生的物理过程顺次为丁图。

解析 运动电荷先后做匀速直线运动、有界磁场中做匀速圆周运动的磁偏转和平行板之间类平抛运动的电偏转，由题意分析可知，带电粒子呈负电性。

在平行板之间做类平抛运动时设飞行时间为 ，由其运动规律可知：x=l=v0t

y=d=qUt22md，联立以上两式解得：

v0=ldqU2m。

粒子在有界磁场中发生磁偏转，延长入射与射出速度的飞行线相交于P点，做该夹角的角平分线，设粒子的偏转轨迹半径为r，则：

Fn=f洛，Bqv=mv2r，r=mvqB=lBdmU2q。

在该校平分线上求作定点，使该点到两速度作用线的距离为半径R=lBdmU2q，设切点分别为M，N，则圆弧⌒MN为粒子在有界磁场中发生磁偏转的运动轨迹。

连接M，N ，以之为半径做圆，由数学知识可知，该圆为所求的圆形磁场的最小面积。设有界磁场的半径为R，粒子在有界磁场中发生磁偏转的运动轨迹所对应的圆心角为π3，则在等边三角形MNO1中，2R=r=lBdmU2q ，即：R=l2BdmU2q ，S=πR2=πmUl28qd2B2。

小结2 本题涉及运动电荷先后经历磁偏转和电偏转多方物理过程，而且多过程之间彼此独立，但相关物理量却彼此关联，互为依存，这就为我们转化成运动电荷在单一场中的运动做好了积极的铺垫，因此，能否凸现各物理过程的运动特点，揭示其运动规律成为解决本问题的关键。至于先从哪个物理过程入手，基于题干提供物理量多少而灵活确定。

对应练习

1.不计重力的带正电离子，质量为m，电量为q，以与y轴成30°角的初速度v0从a点射入第一象限，如图1-3所示，为使该带电粒子能从x 轴上的b点以与x轴成60°方向射出，可在适当的地方加一个垂直于xoy平面磁感应强度为B的匀强磁场，若此磁场分布在一个圆形区域内，试求这个圆形区域的最小半径？

2.如图1-4直角坐标系的第一象限中存在着沿y轴负方向的匀强电场，在第二象限内存在着垂直于纸面向纸内的匀强磁场，一电量为q，质量为m的带正电离子，在-x轴方向成60°方向射入匀强磁场，然后经过y轴上y=L处的b点垂直于y轴方向射入电场，并经过x轴上的x=2L处的c点，求：

⑴磁感应强度B的大小？

⑵电场强度E的大小？

⑶粒子在磁场和电场中的运动时间之比？

2 求解运动电荷初始运动条件的边界极值问题

该类问题多指运动电荷以不同的运动条件进入限定的有界磁场区域，在有限的空间发生磁偏转，有可能是一个相对完整的匀速圆运动，也有可能是圆周的一部分，对于后者往往要求在指定的区域射出，但由于初速度大小以及方向的差别，致死离子在不同的位置射出，因此也就存在着不同情况的边界极值问题。缺失多种情况的分类探讨，成为解决本类问题的主要症结。

2.1 具有确定的入射速度方向，求解速度大小的边界极值问题

例2 如图所示，截面为直角三角形的区域内，有一个理想边界的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度为B，三角形区域的ab边成30°角垂直于磁场方向射入场内，已知电子的电量为e，质量为m，为使电子能从ac射出，电子入射速率v0应满足什么条件？

问题探究性分析 电子在有界磁场中发生磁偏转，已知进入磁场的速度方向，出磁场的条件限制是从ac边上的任意位置射出，r=mvqB，即r∝v，因此能让离子发生磁回旋到达ac上的边界条件就是运动轨迹与bc相切，设对应此条件的临界速度为v1，切点为P，轨迹圆心为O1，半径为r1。做入射速度作用线交bc于N点，构建四边形，由几何关系可证明四边形NPO1M为正方形，则MN=r1=Mvcos30°=34L=mv1qB，解得：v1=3qBL4m；

第二种情况是带电粒子发生磁回旋，r∝v，故v越小带电粒子出磁场时的点越靠近a点，当运动电荷发生磁回旋的圆弧恰好与ac相切的时，对应的边界极值临界速度为v2，切点设为Q，对应的轨迹半径为r2，圆心为O2。由圆心O2向ab做垂线，垂足为D，在RtΔMDO2 中：

MD=L2-r2=r2cos30°，

解得：r2=L3=mv2qB，所以v2=qBL3m

综上述可知，粒子从边界ac射出的临界条件为：qBL3m＜v≤3qBL4m

2.2 已知入射速度的大小但方向可变问题的求解

例3 在真空中有一半径r=3×10-2m的圆形区域，内有匀强磁场，方向如图所示，磁感应强度B=0.27T，一个带正电的粒子以v0=106m/s的初速度从磁场边界上直径ab的一端a点射入磁场，已知该粒子的荷质比qm=108C/kg，不计粒子的重力，求：

(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径是多少？

(2)若要使粒子飞离磁场时具有最大的磁偏角，求入射时v0方向与ab的夹角θ以及粒子的最大磁偏角β=?

解析 粒子在匀强磁场中发生磁偏转，是匀速圆周运动的一部分，设轨迹半径为R

Bqv=mv2R ，R=mvqB=5×10-2m

粒子在圆形有界磁场中发生磁偏转，轨迹为圆弧，对应的轨迹半径R=5cm，延长射入与飞出磁场时速度的作用线，两者之间的夹角为磁偏角β，由圆的几何知识可知，磁偏角β等于对应轨迹的圆心角。要使磁偏角最大，则轨迹所对应的圆心角最大，即所包围的圆弧最长，所夹的弦应当最长，由题意分析可知，最长的弦则为ab，由几何知识可知

sin θ2=rR=0.6，解得：θ=74°。

因此，粒子在有界磁场中发生磁偏转，因外界磁场空间范围大小的限定，使之运动的初始条件就有了相应的限制，表现为在指定的范围内运动。确定运动轨迹的圆心，求解对应轨迹圆的几何半径，通过圆心角进而表述临界极值，这应当是解决该类问题的关键。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

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