高中数学教学中应培养学生的数学应用意识
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数学应用性问题是历年高考命题的必考题型之一，高考中一般命制一道解答题和二道填空题。“考试大纲”对于“解决实际问题的能力”的界定是：能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括提炼、解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述。并且指出：对数学应用问题，要把握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度，切合中学数学教学实际。因此高中数学教学过程中我们应注重培养和提高高中学生的数学应用意识，使学生掌握提出、分析和解决带有实际背景的问题及在相关学科、生产、生活中的数学问题。
一、 建构函数、不等关系模型的应用性问题
【背景材料】 当企业经营困难时，需要重组才能更好生存和发展。
【命题分析】 函数型应用题是高考命题中选择最多的题型之一。
【试题设计】 某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息)．已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元／件）之间的关系用下边图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其他费用为每月13 200元．
（1） 若当销售价p为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；
（2） 若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？
解析 （1） 设该店的月利润为S元，有职工m名.则S=qp－40×100－600m－13 200．
易知：q=－2p+140(40≤p≤58),－p+82(58
S=(－2p+140)(p－40)×100－600m－
13 200 (40≤p≤58),
(－p+82)(p－40)×100－600m－
13 200 (58
当p=52时，S=0.
解得m=50即此时该店有50名职工.
（2） 若该店只安排40名职工，则月利润
S=(－2p+140)(p－40)×100－
37 200 (40≤p≤58),
(－p+82)(p－40)×100－37 200
(58
当40≤p≤58时，p=55时，S取最大值7 800元.当58
综上，当p=55时，S有最大值7 800元.
设该店最早可在n年后还清债务，
12n×7 800－268 000－200 000≥0,
得n≥5,所以该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元.
点拨 实际问题要注意自变量的取值范围。分段函数要注意分段讨论。解答函数型应用题，一般先从建立函数的解析表达式入手，通过研究函数的性质获得解答。
二、 建构数列模型的应用性问题
【背景材料】 购房贷款是我们生活中常见现象，以后逐年去银行分期付款。
【命题分析】 存、贷款问题为典型的数列应用题。
【试题设计】 某人计划年初向银行贷款10万元用于买房．他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4％，且每年利息均按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），问每年应还多少元（精确到1元）？
解析 10万元，在10年后（即贷款全部付清时）的价值为105(1+4%)10元.
设每年还款x元．则第1次偿还x元，在贷款全部付清时的价值为x(1+4%)9；
第2次偿还x元，在贷款全部付清时的价值为x(1+4%)8；
……；
第10次偿还x元，在贷款全部付清时的价值为x元.于是：
105×(1+4%)10=x(1+4%)9+x(1＋4%)8＋x(1＋4%)7+…+x.
由等比数列求和公式可得：
105×1.0410=1.0410-11.04-1•x,
所以x≈105×1.480 2×0.040.480 2=12 330.
另法：考虑这个人在每年还款后还欠银行多少钱.
设每年还款x元．则第一年还款后，欠银行的余额为：[105(1+4%)－x]元；
第k年还款后，欠银行的余额为ak元，则ak=ak－1(1+4%)－x.
不难得出：a10＝105×(1+4%)10－x(1+4%)9－x(1＋4%)8－x(1＋4%)7－…－x.
第10次还款后，有a10=0由此列方程得结果.
点拨 解决问题的关键在于：
1. 分清单利、复利（即等差与等比）；
2. 寻找好的切入点;
3. 一般来说，数列型应用题的特点是：与n有关。
三、 建构三角模型的应用性问题
【背景材料】 由于种种条件的制约，如何计算两地的距离是常见问题。
【命题分析】 引入角作为参变量，构造三角形，借助正弦定理、余弦定理。
【试题设计】 为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离.请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间距离的步骤.
解析 测俯角α1，β1与α2，β2以及AB=d.
方案1 由正弦定理计算
AM=dsinα2sin(α1+α2),AN=dsinβ2sin(β2-β1)
.
再由余弦定理计算MN.
方案2 由正弦定理计算BM与BN，再由余弦定理计算MN.
点拨 求解数学应用题必须突破三关：
（1） 阅读理解关；（2） 建模关；（3） 数理关。
解应用题的一般程序:（1） 读：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础;（2） 建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型。熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关；（3） 解:求解数学模型，得到数学结论。一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程；(4) 答：将数学结论还原给实际问题的结果。
牛刀小试
1. 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x（吨）与每吨产品的价格p（元/吨）之间的关系式为：p=24 200－15x2,且生产x吨的成本为R=50 000+200x（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入-成本）
2. 某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m2)的宿舍楼.已知土地的征用费为2 388元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.
3. 在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5 km/h，同时岸边有一人,从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4 km/h，在水中游的速度为2 km/h,问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？
【参考答案】
1. 每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.
2. 这幢宿舍楼的楼高层数为20层时,最少总费用为1 000A元.
3. 当船速在(2,22］内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为22 km/h，由此可见当船速为2.5 km/h时,人可以追上小船.
（作者：孙建军,丹阳市第五中学）