谈含参数不等式几种解法

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【关键词】不等，参数，函数， ，成立，范围，

含参数不等式的解证是近几年高考中的重点和难点，因涉及的思维程度较高、综合性较强，学生在解题时往往感到无从下手，在高考中得分不高.而解决此类问题需要学生灵活地进行代数变形，综合运用所学知识，方可取得较好的解题效果，因此此类问题的求解当属学习难点.本文通过对若干例题的分析，试图说明此类问题的常见求解策略，供大家参考.

一、不等式解集法

例1 （2004年上海高考题）记函数 的定义域为A， 的定义域为B.

（1）求A；

（2）若B A，求实数a的取值范围.

解：（1） 得 ，x

（2）由（x-a-1）（2a-x）>0，得（x-a-1）（x-2a）

B=（2a，2a+1）.B A，2a≥1或a+1≤-1，即a≥12或a≤-2，

而a

实数a的取值范围是（-∞，-2]∪[12，1）.

评注：本题中涉及的不等式都易求出解集，所以先求出各不等式的解集，然后通过对解集的对照，得到参数的取值范围.

二、利用二次函数的性质

把所求的函数转化为二次函数，再利用二次函数的知识，例如根的分布、图像的性质等，从而求出变量的范围.

例2 （2008年全国高考题）已知函数

（1）讨论函数 的单调区间；

（2）设函数 在区间（-23，-13）内是减函数，求a的取值范围.

解：（1） ， ，当 时， ， ， 在R上递增；当 ，由 ，求得两根为 .

即f（x）在 递增， 递减， 递增.

（2）， ，解得a≥2.

四、函数最值法

已知函数f（x）的值域为 ，则 恒成立转化为 即 ； 恒成立转化为 ，即 .据此，可将含参数的恒成立的不等式问题，转化为求函数的最大值和最小值问题.

例3 （2008年天津）已知函数 其中

（1）若曲线 在 ）处的切线为 ，求函数的解析式；

（2）讨论函数 的单调性；

（3）对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，

求b的取值范围.

解：（1） . 由导数的几何意义得 ，于是

由切点 在直线 上可得

所以函数 的解析式为

（2）.由

当 时，显然 这时 在区间 上是增函数.当 时，令 ′解得 当 变化时， 的变化情

况如下表：

+ 0 -- -- 0 +

极大值 极小值

所以 在 ， 内为增函数，在 ， 内是减函数.

（3）由（2）知， 在 上的最大值为 与 的较大者，对于任意的 ，不等式 在 上恒成立，

当且仅当 即

对任意的 成立.从而得 ，所以满足条件的b的取值范围是

五、参数分离法

将参变量与主变量从恒等式中分离，则在求函数最值时可避免繁冗的 分类讨论，从而更好地实施“函数最值法”.

例4（2008年湖南） 已知函数f（x）=ln2（1+x）- .

（Ⅰ）求函数f（x） 的单调区间；

（Ⅱ）若不等式 对任意的 都成立（其中e是自然对数的底数）.

求 的最大值.

解： Ⅰ）函数f（x）的定义域是 ，

设 则

令 则

当 时， 在（-1，0）上为增函数，

当x>0时， 在 上为减函数.

所以h（x）在x=0处取得极大值，而h（0）=0，所以 ，函数g（x）在 上为减函数. 于是当 时，

当x>0时，

所以，当 时， 在（-1，0）上为增函数.

评注：解恒成立问题，往往采用分离参数，转化为最值和不等式的问题.