一道高考题引起的思考

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摘 要： 在数学教学中，学生在学习的时候似乎已懂，而在实际操作过程中却无法从问题中分离出数学问题的实质，从而导致解题的失败.作者从一道高考题出发，对于高一基本不等式的教学作思考.

关键词： 基本不等式 高一基础数学 高考题

江苏省2012高考题是一道应用题，如下：如图，建立平面直角坐标系xoy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-■（1+k■）x■（k>0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.

本题所考查的内容是函数、方程和基本不等式的综合应用，是高中内容的重点，在这里考察的难度并不算大，但是从学生的得分情况看和教师的预期相去甚远.究其原因，学生反应看不懂题目，数学中的看不懂题目并不是指不理解字面意思，而是无法从中抽象出数学模型，导致无法选用合适的数学方法解决问题.在平时学习中熟练掌握的各种方法找不到用武之地.经过教师稍加点拨，大多数学生均能解决此题，而自己独立做题时却出现“懂而不会”的尴尬局面.

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现在的教材编排，高一的内容是重头，而在高一的基础教学中普遍存在进度来不及的情况，教师往往为了赶进度照本宣科，而学生停留在模仿机械训练的状态，解决变化的问题特别是如上题中隐藏在背景中的数学问题敏感性不强，无法抽象出其数学本质.比如高一的必修五的第三章不等式无疑是代数部分的重头戏，课标指出“不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容.建立不等观念、处理不等关系与处理等量问题是同样重要的.学生将通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，要求认识基本不等式及其简单应用，体会不等式、方程及函数之间的联系”.在教材中专门用一章研究“基本不等式”表明不等式在高中内容体系中占有重要位置，基本不等式还反映了算术平均数和几何平均数之间的一种不等量关系，可以很好地解决实际生活中一些最大值与最小值问题，因此，基本不等式的内容对学生弄清楚数学知识内部联系与解决实际问题很有好处.而且基本不等式有很多变换，还可以推广推导出很多有用结论，在学生后续学习中起着重要的基础作用.学习和应用不等式有利于学生观察、分析、抽象概括、归纳总结等能力的培养，有利于学生自身数学知识的整合，比如不等式与方程、不等式与函数、不等式与数列等，几乎触及高中代数的各个部分.在不等式的教学中，教师应帮助学生理解和掌握数学的基础知识、基本技能，在评价过程中要注重对数学本质的理解和思想方法的把握，避免片面强调机械记忆、模仿及复杂技巧.例如下面的案例：

问题：a，b∈R■，a■+■=1，求a■的最大值.

思路剖析：解决问题有两个思路：①利用公式ab≤■关键是借助于条件a■+■=1使a■转化为a■+■=1形式，a■=■a·■≤■·■=■■；

②在a、b两个变量中利用题设条件消去其中一个，再利用基本不等式求最值.由已知b■=2-2a■代入所求得：

a■=3■=■■·■≤■（■）=■■.

点评：要善于观察条件与待求式的结构，找出它们的共同处，不要盲目套公式.在学生中会出现这样的盲目做法，如a■≤■，这样右边不能使用条件转化为常数.

由上面的一个简单案例可以看出，学生因为看问题角度不同会做出不同的操作方式，学生往往懂这个知识点，但在实际操作中往往感觉做不到底，不能合理地选用公式或者进行合理变形，受到对数学公式结构理解的影响.所以笔者认为在高一的教学中还应夯实双基，引导学生对知识结构的理解，而并非是浮于表面的模仿.

参考文献：

[1]虞涛.高中课本的数学基本解题方法[M].华东师范大学出版社.

[2]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准[M].人民教育出版社.

[3]李祎.数学教学方法论[M].福建教育出版社.

[4]涂荣豹，杨骞，王光明.中国数学教学研究30年[M].科学出版社.