数学史视角下角边角判定的教学尝试

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汪晓勤教授在《全等三角形的应用：从历史到课堂》中指出：“全等三角形的判定”是初中平面几何重要内容之一，课程标准的要求是“探索并掌握两个三角形全等的条件”，但并没有涉及知识的历史背景和实际应用，教师在授课时如果能将有关的历史知识融入该知识点的教学设计之中，将弥补以上不足。

受这篇文章的启发，我在讲授上教版七年级第二学期第十四章《全等三角形的判定——角边角的判定》这节课时，有意识地把有关角边角的历史资料融入课堂教学中.

首先在验证角边角判定方法时通过讲故事的形式告诉学生古人对全等三角形的认识源于测量，可以上溯到古代埃及和巴比伦文明，对角边角的判定方法，欧几里得在《几何原本》中采用了反证法，但后人感到不满意。10世纪阿拉伯数学家阿尔·奈里兹在注释《几何原本》时，采用了叠合法，也就是我们现在采用的说理方法，然后师生共同演绎了叠合法证明两个三角形全等的过程，使学生对这个问题的认识从感性上升到理性，与历史资料巧妙结合，使学生了解这个判定方法经历的论证过程，激发了学生的学习兴趣。

运用角边角判定方法解决实际问题时，再次与历史知识相结合，启发学生：你们知道角边角的判定方法是谁发现的吗？学生怀着极大的兴趣希望知道答案：希腊几何学的鼻祖泰勒斯（Thales，前6世纪）发现了角边角判定方法，普罗克拉斯（Proclus，5世纪）告诉我们：“欧得姆斯在其《几何史》中将该定理归于泰勒斯，因为他说，泰勒斯证明了如何求出海上轮船到海岸的距离，其方法中必须用到该定理。”

出示例题：如图所示，海上停泊一艘轮船A，你能设计一个方案，测量A点到海岸边B的距离吗？（要求不能上船）并请说明由。

方案一：

看到这道题可能会觉得条件太少，无从下手，引导学生分析：测量轮船到海岸的距离要到岸边来求，如果在岸边找到一条线段，使它的长度等于轮船到岸边的距离，那么这个问题就解决了。能否找一条与AB平行的线，构造两个全等三角形，通过证明两个三角形全等，找到对应边相等，从而解决这个问题，泰勒斯用“角边角”的判定方法解决了问题，你能根据这个思路构造两个全等三角形吗？

然后动员小组合作学习，把课堂交给学生，分组讨论解决方案，各小组得到的方案以成果汇报的形式交流。

学生利用“角边角判定方法”构造全等三角形，使线段AB的长等于另一条在我们测量范围内的线段CD的长。

方法：过B点作直线BEAB，在BE上取点C，使点C可直接到达点A，并延长BC至D，使CD=CB，过D作DFBE交AC延长线于F，只要测出DF的长度，即可知道A、B两点间的距离。

上述方法中作BEAB，DFBE的目的是什么？若满足∠ABO=∠DCO≠90°，方案2是否成立，为什么？

这个方法是法国数学史家坦纳里（P.Tannery，1843—1904）提出的，他认为泰勒斯应该是用这种方法求船到海岸的距离的。本题实际上是构造全等三角形，运用全等三角形性质把较难测量的距离转化为已知距离或易测的距离，从而获得需测量的问题的答案，是全等三角形实际应用的具体体现。面对现实问题主动从数学角度进行分析，并探索解决方案，这是数学教学中培养学生应用意识的根本途径。

本题在实际教学中具有一定的难度，当学生看到两点一线时感觉无从下手，部分学生利用判定1的方法构造三角形，结果发现求出的对应三角形的边长仍然在河流中，并不是在岸上测量的，教师在后来的教学中改进引导方法，强调泰勒斯运用的是“角边角”的判定方法，引导学生在平行线间构造全等三角形，寻找构造全等三角形的方法，讨论特殊角和一般角两种情况，请找到的学生到投影仪上演示发现过程，学生反应积极热烈，这是本节课的亮点之一。

方案二：

在方案一的基础上继续设疑：方法一仍然受到置疑，因为如果船离海岸很远，岸边很难有足够的平地可供测量。英国数学史家希思（T.L.Heath，1861—1940）认为泰勒斯是用另一种方法测量的，这种方法与一个故事有关：拿破仑军队在行军途中为莱茵河所阻，一名随军工程师运用泰勒斯的“角边角”的判定方法构造两个全等三角形，迅速测得河流的宽度，因而受到拿破仑的嘉奖。这位军官是怎么做的呢？

他面向河对岸的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸的某一个点上，然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上。

接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是河流的宽度。这种方法被广泛地运用于文艺复兴时期。你能说明其中的道理吗？

分析：图中的战士是站立于地面上，从而知道∠CDA=∠CDB=90°，且CD=CD，∠DCA=∠DCB（视线保持不变），从而知道两个三角形全等，所以AD=DB，上述方法是合理的。

问题：根据刚才的故事，你能找出另外一种A点到海岸边B点的距离策略吗？

方案二的得出，需要学生的思维从水平面拓展到竖直平面。所以，在这个过程中向学生介绍拿破仑将军利用“角边角”定理测量莱茵河的宽度而打了胜仗的故事，帮助学生得到方案二。

这种方法在数学史中记载，是希思（T.L.Heath，1861—1940）提出的另一种猜测：如图，泰勒斯在海边的塔或高丘上利用一种简单的工具进行测量，直竿EF垂直于地面，在其上有一固定钉子A，另一横杆可以绕A转动，但可以固定在任一位置上.将该细竿调准到指向船的位置，然后转动EF（保持与底面垂直），将细竿对准岸上的某一点C，则根据角边角定理，DC=DB。

学生对拿破仑的工程师测量莱茵河长的故事非常感兴趣，但是对七年级的学生来说，平面图形变成立体图形，学生的空间概念还不完善，不容易理解。有学生还认为，∠ADC明明是钝角，怎么能和直角相同呢？为了便于学生理解。对于故事进行了相应的改动，讲军官转到180度角，得出两个直角三角形全等.工程师用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是河流的宽度。在此基础上，再引导学生转动任意一个角度，解起来就比较容易。有学生提出在转动的过程中以工程师的脚或头为圆心，以目测长为半径画弧，保持角度不变，这些都是很有见地的想法，值得肯定和表扬.

方案三：

理解了方案二的基础上，还可以进一步把它改进成方案三，它类似拿破仑方案，但是先观察后再退几步构造两个全等三角形。

以上我们看到，三角形全等判定方法的历史与它们的实际应用密不可分，因而可以很好地创造学生的学习动机.比利时-美国著名科学史家萨顿（G.Sarton，1884—1956）曾指出：“在旧人文主义者和科学家之间只有一座桥梁，那就是科学史，建造这座桥梁是我们这个时代的主要文化需要。”我们也可以说，在数学和人文之间也有一座桥梁，那就是数学史，建造这座桥梁是今天实施数学新课程的需要，且让我们开启更多尘封的历史宝藏，更好地为数学教学服务。

作为教师，要善于挖掘教学资源，采取多种形式进行教学，定会让数学课堂不再枯燥，理科的天空也有人文的色彩.同时，教师本身更应加强学习，提高自身的数学史素养，这样才能做好领路人，引导学生在数学的天空中自由地翱翔.

参考文献：

汪晓勤，王甲.全等三角形的应用：从历史到课堂.中学数学教学参考：下半月初中，2008（10）.

（作者单位 上海市石笋中学）