构造法在高中数学解题中的应用

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所谓构造法，就是根据题设条件或结论所具有的特征、性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助于该数学模型解决数学问题的方法。

构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提，根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带，使解题另辟蹊径、水到渠成。

一、构造辅助数与式

在解决某些数学问题时，利用矛盾对立统一性，可以充分揭示条件与结论的内在联系，探索构造适宜的数与式，来架设解决问题的桥梁。

[例1]证明 N=???…﹤0.3。

[证明]本题若直接计算十分复杂，且方法不具一般性。根据题目中数的形似可以构造相应的数：M=??…，

显然 M×N=，

又N﹤M（因为﹤；﹤；…），

所以N2﹤N×M=，从而得N﹤=0.3。

二、构造辅助函数

函数在中学数学中占有非常重要的地位,学生们对于函数也很熟悉，选择构造函数这个学生很熟悉的模型来解决问题, 将会大大提高学生解决问题的能力。

由于一些代数式之间从形式上,本质上的相同之处,这就启示着我们在某些数学问题的研究过程中,可构造类似的数学形式,运用构造的数学形式的内涵来解决问题。

[例2]求证：≤。

分析:拿到这道题,如果我们按常规的证明不等式的方法来做，我们应该清楚用比较法,但是比较法对于这个题目相当困难，仔细观察可以发现不等式两边式子的形式相同,那么我们可以构造一个更一般的函数形式:f(x)=,再利用函数的单调性问题就很容易解决了,免去了复杂的化简过程。

[解] 构造函数f(x)=,x∈[0，+∞）。

而函数f(x)=在定义域内单调递增（易证），

又|a+b|≤|a|+|b|, f(|a+b|)≤f(|a|+|b|)，

即≤，命题得证。

注意：运用这种构造,我们还可以证一般的情况:

≤

三、构造辅助方程

方程作为中学数学的重要内容之一,它与代数式,函数,不等式等知识密切不可分。依据方程理论,能使许多的问题得以转化从而得到解决,这对学生的数学思想的培养具有重要意义。

[例3] 求y=的值域。

分析:求函数的值域的方法很多,判别式法是常用的一种,它的理论依据是将y=f(x)化为关于x的二次方程,那么方程若有实根,判别式≥0,由此可求得函数的值域。

[解] 将y=变形为关于x的方程（1-y）x2-(y+3)x+(1-y)=0

⑴当y≠1时,方程为关于x的二次方程，所以=（y+3）2-4(1-y)2≥0，

解得-≤y≤5。

⑵当y=1时,x=0, 此时y∈[-,5]，

于是y=的值域为y∈[-,5]。

四、构造辅助数列

在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式，但实际上有些数列并不是等差、等比数列，给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。下面给出几种我们常见的构造新数列的方法。

1.利用倒数关系构造数列。

[例4]列数{an}中，若a1=2,=+4(n∈N)，求an。

[解]设bn=则bn+1=bn+4,即bn+1-bn＝４，

{bn}是等差数列。

可以通过等差数列的通项公式求出bn=4n-，然后再求数列{an}的通项。

2.构造形如bn=an2，bn=1gan，bn=an+m的数列。

[例5]正数数列{an}中，若a1=5,an+12=an2-4(n∈N)，求an。

[解]设bn=an2,则bn+1=bn-4,即bn+1-bn=-4，

数列 {bn} 是等差列数，公差是-4，b1=a12=25，

bn=25+（n-1）?（-4）=29-4n，

即an2=29-4n，

an= （1≤n≤7,n∈N）。

五、构造复数

由于复数具有代数，几何，三角等多种表示形式，因此，复数与中学数学中各部分知识联系密切。根据题目特点，适当构造出一个与题目等价的“复数模型”，利用复数的有关性质及它的特定性质与运算法则，常可巧妙地解决问题。

[例6] 已知cosx+cosy=a, sinx+siny=b,(a2+b2≠0),求tan(x+y)的值（1990年文科高考题）。

[解] 设z1=cosx+isinx, z2=cosy+isiny,则

|z1|=|z2|=1，

又 z1+z2=（cosx+cosy）+i(sinx+siny)=a+ib，

则 z1 z2=cos(x+y)+isin(x+y)……①

利用 |z1|=|z2|=1

可得 z1+z2=z1 z2（z1+z2）=z1 z1（z1+z2）

因为a2+b2≠0，即a,b不全为0。

所以 z1 z2===+i……②

由式①,②得

cos(x+y)=， sin(x+y)=

即 tan(x+y)=。

（作者单位：广东省惠州市第四中学）