比较在中学数学中的作用
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“在比较中认识一切”,这句格言清楚地说明了比较在认识中的作用。比较作为一种研究方法,在数学中不仅广泛应用于研究对象的数学性质,而且也是用来证实这些性质本身。
前苏联著名的教育家乌申斯基认为“在数学理论中,比较应当是一种基本方法。”对于数学来说,这种思想尤为重要。我们可以通过对确定对象之间的差异点和共同点的比较,形成概念,发现规律,提升数学能力。没有比较,就没有发现;没有比较,就没有创新;没有比较,也就没有数学。
一、比较可以使我们全面理解概念的内涵,准确地掌握数学概念
数学中相近的概念很多,初学者特别容易混淆,我们可以对这些概念进行比较,找出它们的相同点和不同点;从而更好地理解这些概念。例如,学了实数之后,我们就要正确地区分无理数和有理数。有不少同学将 归为无理数中,究其原因,是将无理数与无限小数两个概念混为一谈,认为无理数就是无限小数,因此,我们在学无理数的概念时,要着重理解无理数概念中“不循环”。再如,学了二次根式后,有些同学将算术平方根与平方根的概念混淆。出现 =±2的错误。针对这种错误,我们首先要理解“ ”所表示的意义,然后对算术平方根与平方根这两个概念进行比较,找出二者之间的区别与联系,以避免这种错误的发生,从而得出 =2的正确结论。
二、比较可以使我们理解数学性质的本质属性,避免对数学性质的死记硬背
一元二次方程、一元二次不等式、二次函数是中学阶段三个很重要的内容,它是我们今后进一步学习方程、不等式及函数的基础。我们除了分别掌握它们各自的解法及性质外,还要进一步理解三者之间的联系。结合二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,通过比较,我们不难发现,一元二次方程ax2+bx+c=a(b≠0)的根就是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标,一元二次不等式ax2+bx+c>0(
三、比较可以使我们找出数学对象的共同性质,发现其规律,从而得出一般性的结论或公式
我们知道,三角形内角和为180°。四边形可以用一条对角线分为两个三角形,四个内角和为2×180=360°。五边形可以从一个顶点引两条对角线,分为三个三角形,其内角和为3×180°=540°。六边形可以从一个顶点引三条对角线,分成四个三角形,其内角和为4×180=720°……通过对四边形、五边形、六边形等内角和的比较,我们不难发现,n边形从一个顶点可引(n-3)条对角线,将其分为(n-2)个三角形,从而得出n边形的内角和为(n-2)・180°。
再如,在引进等差数列的概念时,我们可以先比较几个给定的数列,并且从中找出具有相同性质的数列,然后发现这些数列的构造方法。
(1)2,4,6,8,10…(2)-3,-5,-7,-9,-11…(3)1,-2,5,-8,11…(4)1,2,3,4,5,6,7…(5)2,5,8,11,14…。从比较的结果中发现,数列(1)、(2)、(4)、(5)具有相同的性质:数列的每一项(除第一项外)等于这个数列的前一项加上一个常数(an=an-1+d,其中d对于不同数列可能不同),我们将这种数列定义为等差数列,是由于它们都具有an= (an+1+an-1)的性质。这样,利用比较法便得出了等差数列的概念。
利用类似的方法可以求出等差数列的通项(第n项)公式。
(1)a1
(2)a2=a1+d
(3)a3=a2+d=a1+d+d=a1+2d
(4)a4=a3+d=a1+2d+d=a1+3d
(5)a5=a4+d=a1+3d+d=a1+4d
比较上面五个式子的结果,自然会得出:an=an-1+d=a1+(n-1)d
四、比较可以使数学问题与实际问题联系起来,从而找到实际问题中的正确答案
例如,某养殖户想到利用长为10米的一面墙,搭建一个面积为S平方米的矩形养殖鸡场,另外三边由总长为20米的篱笆围成。
(1)当S=48时,求矩形养鸡场的长和宽。(2)当矩形的长为多少时,面积达最大。
解:(1)设与相对的一边长为x米,则与墙相邻的一边长为 米。
依题意,得方程x・ =48化简得:x2-20x+96=0解得:x=12或x=8,将x的值与墙长进行比较知,x=12不合题意,应舍去。所以取x=8,此时 =6
答:矩形养鸡场的长为8米,宽为6米。(2)解:略
解本题时,如果我们不将解方程得出的结果与墙长进行比较,还将得出另外一个“矩形养鸡场的长为12米,宽为4米”的错误答案。
五、比较可以使看似复杂的问题简单化,从而激发我们对数学的兴趣
例如,已知。a2-2a=1,b2-2b=1,求ab的值。
我们通过比较已知的两个式子,不难发现,a,b都满足方程x2-2x=1,即a,b是方程x2-2x-1=0的二根。由一元二次方程根与系数的关系知ab=-1。
解本题时,如果我们不善于比较,直接将已知二式联立解方程组,先分别找出a,b的值,然后再求ab,这样不但使问题变得复杂,甚至可能导致求不出答案的后果。
从上面几个方面我们可以看出,比较是学习数学的一种重要方法,善于比较,是中学生应当具备的基本素质。在数学中,比较的范围是广泛的,比较的对象是多方面的,可以同类项中相同字母的指数进行比较,可以将两个多项式中的同类项的系数进行比较,可以两个实数进行大小比较,也可以不同的函数进行比较。善于比较是学好数学的重要途径之一。让我们在比较中学习数学,在比较中认识数学,在比较中认识一切。
作者单位:福建德化第八中学
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