拟Abelian范畴上函子范畴的局部化

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摘要通过拟abelian范畴的局部类构造出函子范畴的局部类，进一步研究函子范畴的局部化范畴与局部化范畴的函子范畴之间的关系.

关键词局部化；拟Abelian范畴；函子范畴；严格态射

中图分类号O 154.1文献标识号A

1预备知识

函子范畴在范畴理论的发展中起着十分重要的作用.对于任意给定的一个范畴，它都可以通过Yoneda方法嵌入到一个函子范畴中.因此对函子范畴的研究有着非常重要的意义.例如：文献[4，5，7-10]等都对函子范畴作了深入研究.本文将研究拟Abelian范畴上的函子范畴的局部化.文中所出现的范畴局部化相关概念可参阅[4].现将一些主要概念列示如下：

一个范畴A称为有核与余核的范畴，如果对A中每一个态射都有核和余核.设f ： AB是有核与余核范畴A中的态射，则f的余象是典范态射kerf ： KerfA的余核，记为Coimf = Coker（kerf）， f的象是典范态射cokerf ： BCokerf的核，记为Imf = Ker（cokerf）.那么f有如图1分解，其中 f是由该图交换性唯一确定的，称为由f诱导的典范正则态射.

引理1[1]设f ： AB，则

（1） KerfA是严格单态射， BCokerf是严格满态射.

（2）如果f是严格单态射，则f = ker（cokerf ： BCokerf）.（3）如果f是严格满态射，则f = coker（kerf ： KerfA）.（4） f是严格态射当且仅当存在严格单m ： CB和严格满态射e ： AC使得f = m？e.

引理2[1]两个严格满态射的合成是严格满态射，两个严格单态射的合成是严格单态射.

推论1同构态射与严格态射的合成是严格态射.（假定可以合成情况下）

定义2[1]加法范畴A称为拟Abelian范畴，如果

（1）每个态射都有核与余核.

（2）每个严格满态射的拉回是封闭的，即每个严格满态射的拉回是严格满态射（图2），图中f是严格满态射，则f′也是严格满态射（其中（PB）表示该图是拉回图）.

（3）每个严格单态射的推出是封闭的，即每个严格单态射的推出是严格单态射（图3），图中f是严格单态射，则f′也是严格单态射（其中（PO）表示该图是推出图）.

设S是拟Abelian范畴A的一个局部类，称S是饱和的，如果pq∈S，则p∈S并且q∈S.称S是严格饱和的，如果S既是饱和的，其中的每一个元素又是严格的.由文献[6]知道，如果局部类S中每一个态射都是严格的，则拟Abelian范畴A关于S的局部化范畴A [S？1]也是拟Abelian范畴.本文将证明，如果S是拟Abelian范畴A的严格饱和局部类，则对任意小范畴B，在函子范畴AB中

引理5设A是有余核的加法范畴，图5（f′，g′）是（f，g）的推出，若f是某个态射的余核，则f′也是某个态射的余核.

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