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考情分析
图象是函数刻画变量之间的函数关系的一个重要途径,是研究函数性质的一种常用方法,是数形结合的基础和依据.在图象变换和方程零点中经常涉及图象问题,是高考热点题型,通常直接考查为一个小题5分,也会在其它题目中用到图象,分值就更多.预计高考中还会加大对图象的考查力度.对于幂函数的考查主要是其定义和常见的几种幂函数图象和性质.
命题特点
纵观近几年高考题,主要有以下几种题型:(1)知图选式和知式选图,图象变换.(2)基本初等函数的图象特征和图象变换.(3)利用数形结合解决方程根的个数问题和求参数范围问题.(4)幂函数定义及y=x,y=[x12],y=x2,y=x-1,y=x3的图象和基本性质.
1. 知图选式和知式选图:这种题要求根据图象抓本质体现函数关系,根据式子和函数性质确定图象.
例1 (1)函数[f(x)=x-12]的大致图象是 ( )
[O][y][x] [O][y][x] [O][y][x] [O][y][x]
A B C D
(2)函数[y=cos6x2x-2-x]的图象大致为 ( )
[O][y][x] [O][y][x] [O][y][x] [O][y][x] [A][B][C][D]
(3)函数f(x)=axm(1-x)n在区间[0,1]上的图象如图所示,则m,n的值可能是 ( )
[y][x] [O][0.5][0.5][1]
A. m=1,n=1 B. m=1,n=2
C. m=2,n=1 D. m=3,n=1
解析 (1)简单考查幂函数的图形,可直接选出答案.
(2)函数为奇函数,所以图象关于原点对称,排除A,令[y=0]得[cos6x=0],所以[6x=π2+kπ],[x=π12+k6π],函数零点有无穷多个,排除C项,且[y]轴右侧第一个零点为[(π12,0)],又函数[y=2x-2-x]为增函数,当[00],所以函数[y=cos6x2x-2-x>0],排除B项,选D.
(3)本题由图选式,考查导数在研究函数单调性中的应用,代入验证.当m=1,n=2时,通过求导得到单调性和最值与图象相符.
答案 (1)A (2)D (3)B
点拨 由解析式选函数图象除了要熟悉基本初等函数图象特征外,还要从函数的性质上加以分析,诸如单调性、奇偶性、对称性、与坐标轴的交点等,都是我们解题的重要手段.函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复.
2. 通过图象变换作图:这部分题型主要由熟悉的初等函数图象和图象变换规律作函数图象.
例2 画出下列函数的图象:
(1) y=x2-2x[,x>1;]
(2) f(x)=[1x;]
(3) y=x|2-x|.
解析 (1)[x>1],x1,图象是两段曲线,如图①.
(2) [fx=1x,x>0,-1x,x
(3) y=x|2-x|=[x2-2x,x≥2,-x2+2x,x
[O][y][x] [O][y][x]
① ②
[O][y][x]
③
点拨 作图一般有两种方法:描点法、图象变换法.特别是图象变换法,有平移变换、伸缩变换和对称变换,要记住它们的变换规律.
备考指南
1. 作图的前提要能熟练掌握几种基本初等函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数图象等.
2. 熟悉图象变换的基本规律,如平移变换、对称变换、翻折变换等.
3. 能有效实现形与数的相互转化.
限时训练
1. 如图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象. 已知n取±2,±[12]四个值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的n值依次为 ( )
[y][x][O][1][1][C1][C2][C3][C4]
A. -2,-[12],[12],2 B. 2,[12],-[12],-2
C. -[12],-2,2,[12] D. 2,[12],-2,-[12]
2. 若函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(x+1)的图象大致为 ( )
[1] [y][x][O]
[y][x][O][1] [y][x][O][-1] [-2] [A][B]
[C][D] [1][2] [y][x][O] [y][x][O][1][-1]
3. 已知函数f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)在R上是奇函数,且是增函数,则函数g(x)=loga(x-k)的大致图象是
( )
[y][x][O][1] [2] [y][x][O][1] [-1] [y][x][O][1] [2] [y][x][O][1] [-1]
A B C D
4. 当a≠0时,y=ax+b与y=(ba)x的图象大致是 ( )
[y][x][O][1] [y][x][O][1] [y][x][O][1] [y][x][O][1] [A][B][C][D]
5. 已知f(x)= [x+3,x≤1,-x2+2x+3,x>1,]则函数g(x)=f(x)-ex的零点个数为 ( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
6.函数[y=x2-2sinx]的图象大致是 ( )
[O][y][x] [O][y][x]
A B
[O][y][x] [O][y]
C D
7. 已知函数f(x)=[4x+2-1]的定义域是[a,b](a,b∈Z),值域是[0,1],则满足条件的整数对(a,b)共有 ( )
A. 2对 B. 5对
C. 6对 D. 无数对
8. 设a是方程[1x]-log2x=0的实数根,则有 ( )
A. a
C. 02
9. 已知函数f(x)=[1ex]-tanx,[-π2
A. 大于1 B. 大于0
C. 小于0 D. 不大于0
10. 如图,正方形ABCD的顶点A[0,22],B[22,0],顶点C,D位于第一象限,直线l:x=t([0≤t≤2])将正方形ABCD分成两部分,记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t),则函数S=f(t)的图象大致是 ( )
[y][x][O] [A][D][C][B][l] [S][t][O] [S][t][O] [S][t][O] [S][t][O]
A B C D
11. 函数y=[x-2x+2]的图象关于 对称.
12. 设函数f(x)=|x+2|+|x-a|的图象关于直线x=2对称,则a的值为 .
13. 函数y=f(x)的图象如图所示,在区间[a,b]上可以找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,…,xn,使得[f(x1)x1=][f(x2)x2=…=f(xn)xn],则n的取值集合是 .
[y][x][O][a][b]
14. 函数y=[11-x]的图象与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于 .
15. 已知函数f(x)=|x2-4x+3|.
(1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性;
(2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四个不相等的实根}.
16. 设函数f(x)=x+[1x],x∈(-∞,0)∪(0,+∞)的图象为C1,C1关于点A(2,1)的对称的图象为C2,C2对应的函数为g(x).
(1)求函数y=g(x)的解析式,并确定其定义域;
(2)若直线y=b与C2只有一个交点,求b的值,并求出交点的坐标.
17. 设函数f(x)=[1,1≤x≤2,x-1,2
(1)求函数h(a)的解析式;
(2)画出函数y=h(x)的图象并指出h(x)的最小值.
18. 已知函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2+clnx,且g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为2y-1=0.
(1) 求g(x)的解析式;
(2) 设函数G(x)= [fx,x≤0,gx,x>0,]若方程G(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围.