例谈用“Δ≥0”求最大值

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随着中小学课程改革的不断深入，学科间的联系必然加强，学科综合是大势所趋。数学作为学习物理学科的基础和工具,它在物理学中的应用越来越重要。下面在电学中举例说明用“Δ≥0”，求电学物理量的最大值。

例1 一段长为L、电阻值为R的均匀电阻丝，分成两部分再并联起来。应怎样分，才能使并联的总电阻最大，最大值是多少？

分析 些题已知量少，学生感到无从着解。如果我们能找出两段导体并联后的总电阻与某一段导体电阻的关系。利用一元二次方程中的判别式“Δ≥0”就可找出并联总电阻的最大值。具体解法如下：

解 设将电阻丝R分成的两部分电阻分别为R1、R2。

由于电阻丝的电阻为R，则有：

R1＋R2＝R。①

把R1、R2并联，设其总电阻为R总，由并联电路的电阻关系有：

R总＝R1R2/（R1＋R2）。②

由①②得：RR总 ＝(R－R1)R1。

整理得：R12－RR1＋ RR总＝0。③

对这一方程来讲，可看作是以R1为未知数的一元二次方程。而电阻R1必定有实数解，

即：Δ≥0。

Δ＝R2－4RR总≥0。

解得：R总 ≤R/4。

可以看出：总电阻R总 有最大值为R/4。

再将R总 ＝R/4代入③可解得R1＝R/2。

可以看出：总电阻R总 有最大值为R/4。只有当电阻丝平均分为两段（从中点分）时，并联总电阻最大。

例2 如图2所示，电阻R1为定值电阻，当滑动变阻器的滑片P在a端时，R1的电功率为4W。当滑动变阻器的滑片在什么情况下，有电功率最大值？最大值是多少？

分析 当滑动变阻器的滑片P在a端时，只有电阻R1接入电路，此时，它消耗的电功率为P1=4W，由P=U2/R可得：

P1=U2/R1=4W。①

设滑动变阻器接入电路的电阻为R2,它消耗的电功率为P2,此时是R1和R2串联.电路中的电流为:

I＝U/(R1＋R2)。②

由P＝I2R得:

P2＝I2R2。③

由①②③得:P2(R1＋R2)2＝4R1R2。④

整理得:

P2R22＋（2P2R1－4R1）R2＋P2R21＝0。

在此方程中,P2和R2都是变量,而我们要求P2,这就可以看作是以R2为未知数的一元二次方程。R2为电阻值必有实数解,即:Δ≥0。

则：（2P2R1－4R1）2－4P2P2R21＝0。

整理得：Δ＝4P22R12－16P2R12＋16R12－4P22R12≥0。

当P2≤1时，P2的最大值为1W。

再把P2＝1W代入④,有：

(R1＋R2)2＝4R1R2

解得:R1＝R2。

可见,当滑动变阻器接入电路的电阻为R1时,有电功率最大值。其最大值为1W。

由上述两例可以看出：

我们遇到求最大值时，只要找出所求量与某一未知量的一元二次方程。再用Δ≥0就可求出需要的最大值。

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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