钻研教材是永恒的主题

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教学“搭配问题”（即“两件上衣和三条裤子有几种不同的穿法”）时，我先让学生利用学具卡片摆一摆、连一连，再用图形或符号等进行抽象的提炼概括，最后让学生相互间交流讨论，使学生充分地感知组合类题目的特点，进行知识的建构。经过这样的学习，学生普遍掌握了用乘法解决搭配问题的规律，于是我出示相应的题目给学生练习。

题目：新学期开学，小英买了3个不同颜色的书封包新书，有多少种搭配方法？

[书：

书封：]

对于这道题的解答，学生出现了以下两种情况。第一种情况如下：

算式：3×3=9（种）

很明显，这部分学生认为每一种书都有三种选择，如数学书可选蓝色书封，也可以选黄色书封，还可以选绿色书封，所以三种书就共有9（3×3）种搭配方法。这种想法与例题中上衣和裤子的搭配方法不谋而合。可就在作业快要批改完时，有学生出现不同的解法，他们没有用连线表示，而是列简单算式为2×3=6（种）。对于这个答案我很快认为是错误的，但一学生用具体的排列写出了他的解题思路，即在三种书封的图片下摆出：1.数学、语文、英语；2.数学、英语、语文；3.语文、数学、英语；4.语文、英语、数学；5.英语、数学、语文；6.英语、语文、数学。这是利用排列的方法解决问题，把可能的搭配方法全都罗列出来了，确实只有这6种搭配方法，这让我产生了很大的困惑。如果这种方法是对的，那么上面9种搭配方法错在哪里呢？如果9种搭配方法是对的，那么只有6种的搭配方法又该如何解释呢？

带着这个疑问，我重新阅读例1（即上衣和裤子的搭配问题），对该练习题仔细研究思考后，我确定书封包新书这题的正确答案是6种搭配方法，即学生用排列法摆出书封包书的搭配方法是正确的，原来例题与该题有本质上的区别。例题的搭配是从两件上衣中选一件去和三条裤子中的某一条组成一种选择，这样以上衣为标准，每件上衣就有三种搭配选择（以裤子为标准亦然）。而在该练习题中，小英买三种不同颜色的书封包新书，与例题的区别是这三本新书都是要包书封的，并不是从数学、语文、英语三本新书中选一本来包书封，另两本不用包书封，也不存在从三种不同颜色的书封中选一种来包书而另外两种放着不用的可能。题中要求用三种颜色的书封来包三本不同的新书，不是说只包数学书。也就是说，如果数学书选择用蓝色的书封，语文或英语就不可能有三种选择，只剩下黄色或绿色两种书封；如果接下来语文选择黄色书封，那么英语就只有绿色书封一种选择了。思考到这里，问题就迎刃而解了，这并不是组合问题，而是属于排列范畴。

对于这题，为什么我原来会想当然地认为9种搭配方法是对的呢？为什么绝大部分学生也会认为是9种搭配方法呢？反思自己的教学，我感到汗颜。细细想来，课堂教学我至少应做好以下两方面。

1.深研教材，整体把握教材

只深研教材是不够的，还应该包括配套的练习本、作业本。这个单元“数学广角”的教学，主要是让学生学会有序地思考解决简单的组合与排列问题。在对本课时教材的解读中，我只是简单地认为例题1属搭配问题；例题2是用数字排出不同的三位数，属排列问题，这些题目只要让学生体会到有序的思考就行了。其实，有序思考是一个大目标，学生该从什么方向去有序思考，怎么思考就很关键了。如例题1的教学，从书本上看是两件上衣与三条裤子的搭配问题，其实这里隐含了一个类似的情境：“有个爱美的小女孩想到外面做客，衣柜里有2件上衣和3件下装，如果一件上衣和一件下装搭配，该怎样穿合适呢？”很明显，这里有一个搭配的前提条件，就是每次只能从中选出一件上衣与一件下装搭配穿，那么每件上衣就有三种不同搭配的穿法。在“做一做”的练习中延续了这个思路——“通过两张可移动的数字卡片，能摆出哪些不同的两位数”，这里的两位数需分两步来确定十位数字和个位数字，明确每个数位上的数只能从中选一个。教材钻研到这里其实是远远不够的，搭配问题没有这么简单。

同样问“有多少种不同的搭配方法”，在配套的课堂作业本中就存在两种不同的形式。如：“两位小朋友放风筝（有三种不同的风筝，分别是蝴蝶风筝、鱼风筝、蜈蚣风筝），每位小朋友放一种风筝，有多少种搭配方法？”如果不仔细思考，就会简单地认为每个小朋友都有三种选择，得出共有2×3=6（种）搭配方法。从结果看是对的，但这个思考的方法是不对的。“每位小朋友放一种风筝”，这里应理解为两个小朋友都要放风筝，而不是从两个小朋友中选一个人来放风筝。解法如下：

从上图可以看出，算式仍可以列为2×3=6（种），但想法是不一样的。令我很困惑的是，这已属于例题2的排列方法，可对于配套的练习教材却把它放在例题1的练习中，这更提醒我要好好地研究配套的练习教材。

2.根据学生的实际情况，动态调整教学设计

美国心理学家奥苏伯尔说过：“影响学习最重要的因素是学生已经知道了什么，教师应根据学生的原有知识进行教学。”这不仅要求教师在课始就要找准学生认知的起点，还要在教学过程中顺应学生对知识的掌握情况，调整自己的教学设计。其实，“书封包新书”一题中出现的多种解法是可以避免的。对于例题1类型的简单搭配组合问题，学生掌握并不困难，大部分学生其实不需要用学具详细地排列，只要连线后再指导他们用简单的符号或字母记录出不同的搭配方法即可。面对学生的掌握情况，我仍按部就班地按照自己的原先设计，让学生做书上与例1相应的练习，这样的练习并没有多少的变式，也不存在多少的思维含量，只是为了巩固技能而增加的练习。现在想来，因为学生很容易地就掌握了有序思考例1类型的题目，那么我完全可以在少量的练习后，组织学生学习例题2排列类型的题目，再通过变式练习，让学生主动建构起简单的排列与组合的数学模型。

对于备课，如今我们经常听到是如何备学生，殊不知，数学教材本身我们同样“轻敌”不得，因为教师面对的也是不断变化、更新的教材。教师只有读懂教材、钻透教材，教学根据学生的变化做出及时的调整，才能真正“一招鲜吃遍天下”。