一道高考题的十二种解法

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湖南衡阳衡东二中 421451

摘要：本文将针对2008年重庆高考数学的第4题提出12种不同的解法，供参考.

关键词：函数；解法；最值

试题 已知函数y=+的最大值为M，最小值为m，则的值为（）

A. B.

C. D.

此题作为一道选择题，我们易得出答案为C，但此题也是一道典型的形如y=+（ac

[⇩]利用幂函数性质求最值

解法1 函数y=在（0，+∞）内为增函数，且随u的增大，增加速度越来越慢. 而+可以看成是数轴上1到x距离开方与x到－3的距离开方之和. 根据函数y=的上述性质可得：当1－x=3+x即x=－1时y取得最大值2；当x=1或x=－3时y取得最小值2 .

[⇩]利用二次函数性质求最值

解法2 显然y≥0，两边平方得y2=4+2. 移项得y2－4=2.

因为x∈［－3，1］，3－x2－2x∈［0，4］，所以y的最大值为2，y的最小值为2 .

解法3 由上面变形得到的y2－4=2・（注意y2－4≥0），两边再平方整理得4x2+8x+y4－8y2+4=0（＊）. 记f（x）=4x2+8x+y4－8y2+4，方程（＊）在［－3，1］有解. 因为函数f（x）的图象关于x=－1对称，所以Δ≥0，

f（－3）≥0，

f（1）≥0.所以0≤y2≤8 .

又因为y2－4≥0，y≥0，所以y的最大值为2，y的最小值为2 .

[⇩]利用三角变换求最值

解法4 因为x∈［－3，1］，故∈［0，2］，∈［0，2］. 所以可设=2cosθ，=2sinθ ，θ∈0

，1，所以2≤y≤2. 故y的最大值为2，y的最小值为2 .

解法5 设=ycos2θ，=ysin2θ，所以1－x=y2cos4θ，x+3=y2sin4θ.

消去x得=sin4θ+cos4θ=2cos2θ－

2+. 所以∈

，1. 因为y≥0，所以y的最大值为2，y的最小值为2 .

[⇩]构造线性规划问题求最值

解法6 设u=，v=，u∈［0，2］，v∈［0，2］，则原函数可转化为u2+v2=4，求函数y=u+v的最值. 当直线u+v－y=0与圆u2+v2=4在第一象限相切时y取到最大值2；当直线u+v－y=0由原点移到刚好与圆u2+v2=4相交时y取到最小值2，如图1.

[v][u][2][2][O]

图1

[⇩]构建向量求最值

解法7 设向量a=（1，1），b=（，），则y=a・b. 令m=，n=，则b=（m，n）的终点表示圆心在原点，半径为2的圆在第一象限部分上的点（如图2，包含圆与x正半轴、y正半轴的交点）.

[a][b][m][n][O]

图2

所以a与b的夹角范围为0，

. cos〈a，b〉∈

，1， y=a・b=ab・cos〈a，b〉=2cos〈a，b〉. 所以2≤y≤2. 故y的最大值为2，y的最小值为2 .

[⇩]构建对偶函数求最值

解法8 引进y=+的对偶函数z=－. 因为函数z=－在［－3，1］上为增函数，所以－2≤z≤2⇒0≤z2≤4 . y2+z2=8⇒y2=8－z2. 所以4≤y2≤8. 因为y≥0，所以2≤y≤2. 所以y的最大值为2，y的最小值为2 .

[⇩]利用导数求函数最值

解法9 对函数y=+求导得y′=

－. 令y′=0得x=－1.

所以当x=－3或x=1时y有最小值2；当x=－1时，y有最大值2.

[⇩]利用重要不等式求最值

解法10 由柯西不等式（aibi）2≤ab，当且仅当==…=时取等号.

[⇩]利用方差性质求最值

解法11 对xi∈R（i=1，2，…，n），记x=xi，s2=（xi－x）2，s2=（xi-x）2= x-x2≥0，当且仅当xi=x时取等号，i=1，2，…，n . 根据以上性质，记，的平均数为，则s2=－

2≥0. 所以2－

2≥0. 于是y2≤8. 故y有最大值2. 由x∈［－3，1］可得y有最小值2 .

解法12 由Dξ=Eξ2－（Eξ）2≥0，可构造如下分布列：

[ξ\&\&\&P\&\&\&]

所以（Eξ）2=

+2，Eξ2=+=2 . 因为Dξ=Eξ2－（Eξ）2≥0，所以有（Eξ）2=

+2≤2 . 所以（+）2≤8. 即y2≤8. 故y有最大值2.由x∈［－3，1］可得y有最小值2 .

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