“真经历”,开展“综合与实践”的有效手段

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数学“综合与实践”的价值不是常规的数学课所能实现的，也不是普通的数学测试所能评价的。在日常教学中，由于教师对数学“综合与实践”的认识不够，目标定位、实施难度相对较大，活动显性成效较难呈现与评价，因此常常被教师视作鸡肋一带而过，甚至有教师把“综合与实践”理解成了综合数学练习。如何有效开展“综合与实践”教学，成为当务之急。在这样的背景下，我们选择杯琴为素材进行了研究。

仔细研读教材并查阅相关资料可知，杯琴与数学之间的关系，不仅仅体现在水量不一导致声音不同这一现象上，杯琴所呈现的，是音律的一种外在形式，它是抽象数学的一个现实背景。因此，借助于学生已有的数学及音乐的知识背景，利用杯琴素材引导学生从数学的角度发现并提出研究问题，通过实验、思考、再实验，用数学的方法去研究和感受数学与音律的关系，使学生在完整经历不断推进的研究活动中能获得一些数学研究、思考的方法，成为《美妙的杯琴》教学的目标追求。

如何让作为研究主体的学生真正地经历完整的研究过程？很显然从现象的引入，问题的提出，实验方案的设计，实验过程的调整，研究问题的递进直至初步结论的得出，这样一个循序递进的研究性过程不是40分钟所能承载的，首先要打破的就是课时的限制。由此我们把《美妙的杯琴》的研究过程进行了分段处理，把整个过程从课堂40分钟延伸到课前与课后，精心设计，旨在引导学生真实、完整地进行数学研究。

一、调查阅读，提出问题

我们的研究从学生熟悉的乐器开始。课前三次递进性的问卷和两个小实验让我们很清楚地看到学生主动参与度的变化，看到研究问题的产生、提出与提炼的过程。

1.亦步亦趋。

问卷一：你了解自己乐器的发声原理吗？音的高低和哪些因素有关？从反馈看，90%的孩子是通过百度进行简单摘抄，10%的孩子凭经验写了自己的答案。之后我们组织学生观看了视频《声音的产生》。问卷二：不局限于自己的乐器，提出自己想要了解的问题。44.1%的学生通过查阅资料，对声音的产生有了进一步了解，而且关注到声音的传播介质、共振等多方面的知识；41.2%的学生动手进行了尝试，发现“不同材质的容器装一样多的水会发出不同的声音”、“同样的容器水量不一声音也不同”。

2.渐入佳境。

问卷三：你还想研究什么？孩子几乎迫不及待地提出，想制作一组杯琴，定出音阶来演奏乐曲。随后教师播放了《最强大脑》的片段《听音定水量》，学生若有所悟，提出确定音阶的时候水量必须十分精确，并设计了详细的实验方案。

尽管方案的设计耗费了不少的课余时间，但是学生专注于设计本身，根本没有计较时间问题。可见，学生不是没有提出问题的能力，多数时候是没有这样的机会和时间。最终学生们确定了相对较为合理的方案，并通过实验得出了结果。对于我们来说，实验的结果是预料之中的，而提出问题和制订方案才是更值得重视的活动。培养学生的问题意识、提高学生解决现实问题的能力是“综合与实践”着力达成的目标，给学生一定的时间和尝试的机会，他们会获得相应的成功。这种成功的体验，是让“经历”内化为“经验”的上佳途径，一旦学生具备相当的此类经验，即可促进其进一步的学习。

二、实验调整，突出“数学”

从知道“玻璃杯里水量不同，则音高不同”，到自己制作杯琴演奏，再到研究音律与数学的联系，恰似两个台阶，中间有着很大的跨度。也正是这种跨度，让孩子有了应用数学解决问题的机会。

片段1：

师：制作杯琴先要“定音阶”，先定哪个音？怎么定？

生：先定do，并且水满为do。因为水越少，音越高。

师：re怎么定呢？请音乐老师来听听空杯是什么音……（空杯是so）

生1：我先假设re要260毫升水，然后再听音高调整。

生2：我们是从满杯开始，先减掉一些水，不断减少，直到调出re。

生3：我们小组认为可以计算。满杯为do，空杯子是so，然后……

师：你们知道他们小组是怎么算的吗？

生4（边画图边说）：do、re、mi、fa、so之间有三个全音，一个半音，如果两个全音之间的距离是1份，那么do和so之间的距离就是3.5份。空杯水量为0，每一个全音的水量应该是总毫升数÷3.5，re音只要减少这样一份的水量。

师：真厉害，由音程之间的关系想到了水量之间的关系，借助于线段图使它们的关系一目了然，果然是有理有据。

要让学生思维触及数学内涵，就需要指向数学背景的问题。定好do之后，定其他的几个音，生3主动尝试从数学的角度寻求解决问题的方法，利用音程之间的关系来确定水量，可以看出面对实际问题，学生已初步具有了将现实问题抽象为数学问题的意识，它需要教师进一步的引导与呵护。

片段2：

师：我们已猜出re音的水量。究竟是不是这样呢？需要实验的验证。

（学生实验操作。）

师：实验数据和估计数据怎么不一致呢？

生1：我们只是耳朵听，do和re不一定是最准确的音高。

生2：杯子上面大些，下面小些，会不会有影响？

师：那么，实验结果符合音变高而水减少的规律吗？

生：是的。

师：面对猜想，我们要学会验证；面对结果，我们还要学会反思。

师：我们刚才通过估、验、思的步骤确定了re音。接下来，猜想mi、fa、so各应该是多少毫升呢？能验证吗？

（学生按照步骤继续试验，调出后面的音，教师在excel表格中输入数据。）

师：各组的数据都在这里了，有办法清楚地比较这些数据吗？

生：用折线统计图。

（教师将表格转换为折线统计图。）

师：你能看出什么？

生1：每个小组的折线都是依次下降的。

生2：所有的实验都符合水越多音越低，水越少音越高的规律。

首先应注意到，孩子是愿意通过实验来验证猜想的。学生在活动中，既发现了猜想和结果之间符合的部分，又能反思差异出现的原因。在分析问题的过程中，学生还综合了统计相关知识，合理地解释了杯琴的制作原理。教师所要做的仍然是提供一定时间和空间。此外，教师和学生没有避讳猜想与实验结果之间的差异，这就是数学求真的一面。同时我们也可将整个活动看作一种数学实验。数学作为一门科学，理应包含猜想和实验等实践内容。但现实是，学生独立的实验意识并不强，不得不说这与以往的数学教学方式有关。培养学生以实验佐证猜想的意识，需要在整个数学教育的过程中予以重视。同时，实验并不等同于操作，预先的估计，实验后的分析，都应当是实验中要关注的内容。

三、文化渗透，拓宽思路

当学生成功地制作出杯琴，并用杯琴演奏出一些简单的乐曲后，研究至此结束吗？不，杯琴只是我们研究数学和音律关系的一个引子，更重要的是通过杯琴打开一扇研究的门。历史上有很多关于数学家研究音乐的小故事，我们把毕达哥拉斯研究音律的故事在活动中介绍给学生，以此来引导学生的后续思考、研究。

片段3：

师：其实人们很早就相信，音乐的背后肯定有数学规律可循，并一直在努力寻找。毕达哥拉斯是我们所知历史上最早研究音律的数学家，请同学们一起阅读《毕达哥拉斯琴弦律》。

（学生阅读材料并讨论单弦琴调音和杯琴的异同以及毕达哥拉斯的研究方法。）

生1：杯琴是通过调节水量来调音的，毕达哥拉斯是通过调节弦长短调音的。

生2：水量多少和琴弦长短，其实都是我们常说的数量。

师：真厉害，又看到数学了。那么毕达哥拉斯是如何研究的呢？

生：其实和我们差不多，先猜测，再验证。

师：看来我们研究的方法确实是有点道理的。再来看这些乐器是怎么调音的？出示：木琴、竖琴、长笛发声原理的介绍。

师：你又有什么感想？

生1：这几样乐器调音方法好像和杯琴以及琴弦类似。

生2：它们应该也有数学规律。

就杯琴这一内容而言，与数学文化的联系至少可以体现为两个方面：一是音乐中蕴含的数学原理，二是众多数学家在音律方面付诸的大量研究。合理地使用这些素材，是拓展数学文化内涵的必要手段。

四、回顾反思，延伸研究

经历活动的过程之后，教师理应引导学生进行回顾和反思，这是促使学生积累活动经验和学会理性思考的重要途径。纵观整个研究的过程，学生的回顾和反思至少出现了三次，首先在学生制订实验方案后，教师引导学生针对研究问题进行调整；其次在学生通过“估、验、思”的步骤确定了re音后，教师及时引导学生明确操作方法，展开实验操作；最后在学生通过实验，明确了杯琴的原理并敲出曲子之后。

师：我们终于听到了自己的乐器发出美妙的音乐。现在，让我们找一些关键词，来回顾这段时间的研究。

生简单讨论后给出：问题、猜想、分析，验证、规律……

师（小结）：我们在现象、实验中发现问题，提出猜想。通过实验分析，有时猜想获到验证，得到了规律；有时实验结果与猜想不符，需要分析原因，调整思路；有时又会在实验中产生新的问题，促使我们进一步深入研究。

回顾和反思，一方面是完整的活动过程的一部分，另一方面更多地是为了进一步理解知识和方法，积累活动经验。反思的内容，主要是明确“发现和提出问题，分析和解决问题”的策略和方法，以及活动过程中需要改进的问题、可供借鉴的经验等。

回顾整个活动的过程，始于乐器和声音的表象，终于器乐发声和数学的原理，并延伸至数学音乐之间的文化纽带。教师尝试以综合的视野组织学习，让学生真正经历了实践活动的完整过程，获得了实实在在的基本研究经验和大量的真实体验。至此《美妙的杯琴》教学让我们深切地感受到“真经历”是开展数学“综合与实践”的有效手段。

（作者单位：江苏省无锡市扬名中心小学，江苏省无锡市南长区教研室）