一种简化的多重分形维数算法
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摘要： 多重分形维数可以从不同的层次上刻画信号的几何特性，从而提取不同信号的信号特征。本文提出了一种改进的多重分形维数算法，改变了传统多重分形维数对q维特征进行累加的计算方法，在保证算法计算复杂度基本不变的情况下，增加了信号特征的规律性和类内聚集度。仿真结果表明，对于不通信号的分类，改进算法具有更好的可分离性。
Abstract： Multi-fractal dimension can characterize the geometric characteristics of the signals from the different levels， so as to extract the signal characteristics of different signals. This paper presents an improved multi-fractal dimension algorithm， which changes the cumulative calculating method of traditional multi-fractal dimension for the characteristics of q-dimension， increases the regularity of signal characteristics and aggregation within the class. Simulation results show that changing algorithm has better separability for the classification barrier signals.
Key words： simplified；multi-fractal dimension；algorithm
中图分类号：TP301.6 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2014）09-0181-02
0 引言
雷达回波中通常包含有大量与目标特征有关的信息以及各种各样的杂散回波，因此，如何在较低信噪比下提取雷达信号的脉内特征，进而对雷达信号进行识别成为了当今的热点。针对雷达信号脉内特征的特点，可以表示信号复杂度特征的理论，熵理论，分形理论等得到了比较广泛的应用。文献[1]利用信号的复杂度特征盒维数和指数熵双重复杂度特征对通信信号进行识别，取得了比较好的识别效果。文献[2]针对盒维数刻画信号层次不够精细的缺陷，对传统盒维数进行了改进，虽然增加了一定的计算量，但是，识别效果有了明显的提高。将多重分形谱特征应用到雷达信号的脉内调制特征识别中，识别效果显著。给出了计算离散信号的多重分形谱特征的方法，对多重分形维数谱的意义做了很好的诠释。
分形维数通常用来表示分形集的不规则程度，从测度的角度将维数从整数扩大到分数，突破了一般拓扑维数为整数的界限。因此，在各个领域都得到了很广泛的应用。本文针对传统多重分形维数的特点，对多重分形维数特征进行了改进，仿真结果表明，该算法相对于传统算法，计算量有所减少，在稳定性方面，远远高于传统多重分形维数算法，具有更好的应用价值。
1 多重分形理论
1.1 传统多重分形维数算法 多重分形维数能够从不同的层次刻画事物的特征。传统多重分形维数的定义方法如下：把研究对象（取其线度为1）分为N个小区域，设第i个区域的线度大小为？着i，则第i个区域的密度分布函数Pi用不同的标度指数？琢i描述为：Pi=？着■■，i=1，2，…，Ni（1）
非整数？琢i一般称为奇异指数，其取值与区域有关。
定义函数Xq（？着），它为各个区域的概率加权求和：
Xq（？着）=■P■■（2）
由此进一步定义广义分形维数Dq为：
Dq=■■■=■■■（3）
不同的q值体现了不同概率特性区域的性质，通过加权求和处理，就把一个信号分成许多具有不同奇异程度的区域，因此，就可以分层次来了解信号内部的精细结构。
1.2 改进多重分形维数算法 本文对该多重分形维数的算法进行了改进，在Dq的求值过程中，取消对不同区域的概率的求和过程，直接计算不同层次信号的多重分形特征，即：定义函数X■■（？着）为：X■■（？着）=P■■（4）
进而求得改进多重分形维数D■■为：
D■■=■■■=■■■（5）
此时，D■■即为改进的多重分形维数值。
D■■与D■可以同样刻画信号的不同层次的特征，其结果直接表示的是信号每一个层次的分布特征，且在计算量上，减少了一次加法求和的计算过程，和传统方法比较，具有更好的特征提取效果。
2 仿真结果与分析
根据多重分形维数的定义，在信噪比为10dB的条件下，对4种不同类型的雷达信号，线性调频信号，频率步进信号，频率键控信号和相位键控信号，进行多重分形维数值的求取，绘制多重分形维数曲线图。
仿真结果如图1，图2所示。图1为4种雷达信号的传统多重分形维数曲线图，图2为4种雷达信号的改进多重分形维数曲线图。
图1中，（a）为线性调频信号，（b）为频率步进信号，（c）为频率键控信号，（d）为相位键控信号。且横坐标lne代表公式（3）中的ln？着，纵坐标lnXq代表公式（2）中的lnXq（？着）。
图2中，（a）为线性调频信号，（b）为频率步进信号，（c）为频率键控信号，（d）为相位键控信号。且横坐标lne代表公式（5）中的ln？着，纵坐标lnXq代表公式（4）中的lnX■■（？着）。
从图1，图2的仿真结果中可以看出，4种雷达信号的改进多重分形维数比传统的多重分形维数具有更好的规律性，且计算量基本保持不变。而且，在信噪比为10dB的条件下，可以更好地对不同的信号进行分类识别。
3 结论
文中提出了一种改进的多重分形维数算法，对比与传统的多重分形算法，该算法取消了传统算法中对不通层次特征参数进行求和的过程，在简化算法的前提下，提取到的雷达信号多重分形维数特征具有更好的稳定性，为后续的分类器识别工作打下了更好的基础。
参考文献：
[1]Li Yi-bing， Li Jing-chao， Lin Yun. The Identification of Communication Signals Based on Fractal Box Dimension and Index Entropy， JCIT.
[2]Yibing LI， Jingchao LI， Yun LIN， Juan GE. The Application of Improved Generalized Fractal Box-counting Dimension Algorithm in Emitter Signals Recognition， JICS.
[3]张怀亮，孙栓辉，刘舜尧.数字分形图像分形维数计算[J].计算机仿真，2010（10）.