谈创新试题的类型与求解
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创新意识是指：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的措施与手段分析信息，经过独立思考、探索和研究，提出解决问题的思路，最后创造性地解决问题.创新意识是理性思维的高层次表现，通过对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，发现问题和解决问题.对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强.对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查.在考试中创设新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题，从定义型、多样型、发散型、研究型、探索型、开放型入手设计试题是近年考试命题的整体趋势，因此必须引起我们的重视，下面谈谈创新试题的类型与求解，供参考.
一、定义型
通过定义新概念、新术语、新运算等，考查考生接受新信息与利用新信息的能力是创新试题的一种常见模式，已被广大师生普遍接受.此类题求解的关键在于准确认识“新”与利用“新”.
例1 定义：已知两数a、b，按规则c=ab+a+b得到数c，称c为“新数”，现有数1和4.
①按上述规则操作三次后得到的最大新数c=49；
②2008不是新数；
③c+1总能被2整除；
④c+1不一定能被10整除；
⑤499不可能是新数.
其中正确的说法是（ ）
A. ①③ B. ②④
C. ②③ D. ②③⑤
解析 ①c1=1×4+4+1=9，c2=9×4+4+9=49，c3=9×49+49+9=499，从而c=499，故①错⑤错.
下面我们再分析②③④，
c=ab+a+b+1-1=（a+1）（b+1）-1，从而c+1=（a+1）（b+1）.
取c与a组成新数，
d= ac+a+c=（a+1）（c+1）-1=（a+1）（a+1）（b+1）-1=（a+1）2（b+1）-1，d+1=（a+1）2（b+1）.
取c与b组成新数，
e= bc+b+c=（b+1）（c+1）-1=（b+1）（b+1）（a+1）-1=（b+1）2（a+1）-1，e+1=（b+1）2（a+1）.
从而，新数可以表示为x+1=2m5n，故2008不是新数， c+1总能被2整除且c+1总能被10整除，故②③均正确.
点评 本题通过定义新数，让考生对新数全面而准确的认识后，再对所给命题进行判断，可以看出，若对新数的认识不足，很难产生正确结论.
二、多样型
结论具有多样性，首先是可供选择的多样结果，考生可以根据自己的情况，选择分值高的或是低的问题进行解答.其次，每种结论的最终结果不一定是唯一的，要视不同情况可能会出现多功种结果.此类问题要求考生，对自己的实力必须非常清楚（不可缺乏自信、更不可过于自信），求解时，要注意分类讨论思想的合理、准确应用.
例2 现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）.在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）.在直角坐标平面内，我们定义A（x1，y1），B（x2，y2）两点间的“直角距离”为：D（AB）=|x1-x2|+|y1-y2|.
（1）求到定点M（1，2）的“直角距离”为2的点的轨迹方程.并写出所有满足条件的“格点”的坐标（格点是指横、纵坐标均为整数的点）.
（2）求到两定点F1、F2的“直角距离”和为定值2a（a>0）的动点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹.（在以下三个条件中任选一个做答，多做不计分，选择条件①，满分4分；条件②满分6分；条件③，满分8分）
①F1（-1，0），F2（1，0），a=2；②F1（-1，-1），F2（1，1），a=2；③F1（-1，-1），F2（1，1），a=4.
解析 （1）轨迹方程|x-1|+|y-2|=2，满足条件的格点为（1，4），（1，0），（2，3），（2，1），（3，2），（0，1），（0，3），（-1，2）.
（2）条件①轨迹方程|x+1|+|x-1|+2|y|=4.
①当x≤-1，y≥0时，x-y+2=0；
②当x≤-1，y
③当-1
④当-1
⑤当x≥1，y≥0时，x+y-2=0；
⑥当x≥1，y
条件②轨迹方程|x+1|+|y+1|+|x-1|+|y-1|=4.
①当x≤-1，y≥1时，（x，y）=（-1，1）；
②当x≤-1，-1≤y
③当-1
由对称性可得其他部分图像.
条件③轨迹方程|x+1|+|y+1|+|x-1|+|y-1|=8.
①当x≤-1，y≥1时，x-y+3=0；
②当x≤-1，-1≤y
③当-1
由对称性可得其他部分图像.
点评 本题的结论具有多样性，考生不同的选择所处理的问题难度易不同，所得分数也不相等.在选择时考生要量力而行，贪分数，可能到最后一分也难得.选简单了，可能要会后悔.可见在设计时不仅注意到了考生应用数学知识与技能的能力，同时也注意到了考生对自己能力的准确认识.
三、发散型
结论的发散性是创新型试题的一种形式，此类题的一个标致性特征是：结论不确定、结论不唯一.求解此类试题必须注重前后联系，更需要思维的灵活性与跳跃性.
例3 设集合P={f（x）|f（u-v）f（u+v）=f 2（u）-f 2（v），u∈R，v∈R}.
（1）试判断f1（x）=1，（x≥0）-1，（x
（2）若f（x）=kx+b（k，b为常数，k≠0）属于P，试寻找其充要条件.
（3）根据对第（1）（2）小题的研究，请你对属于集合P的函数从函数性质方面提出一个有价值的结论，并说明理由；若f（x）=ax2+bx+c（a≠0），利用研究所得的结论判断f（x）与集合P的关系.
解析 （1）若u=v=0时，f1（0-0）f1（0+0）=（0）=1，而（0）-（0）=0，显然f1（0-0）f1（0+0）≠（0）-（0），
f1（x）？埸P.
任取u，v∈R，f2（u-v）f2（u+v）=sin（u-v）sin（u+v）=sin2ucos2v-cos2usin2v=sin2u-sin2v=（u）-（v），f2（x）∈P.
（2）若f（x）∈P，则[k（u-v）+b]·[k（u+v）+b]=（kv+b）2-（kv+b）2对任意的u，v∈R恒成立，即b（2kv+b）=0对任意的u，v∈R恒成立，k≠0，b=0.
反过来，当b=0时，f（x）=kx，此时f（u-v）f（u+v）=k（u-v）k（u+v）=（ku）2-（kv）2=f 2（u）-f 2（v），显然， f（x）=kx+b（k，b为常数，k≠0）属于P.
故f（x）=kx+b（k，b为常数，k≠0）属于P的充要条件为b=0.
（3）根据对第（1）（2）小题的研究，可得属于集合P的函数是奇函数.
取u=v=0，得f（0）=0.任取x∈R，令u=0，v=x，得f（-x）
f（x）=f 2（0）-f 2（x），得f（x）[f（-x）+f（x）]=0，f（x）=0或
f（-x）=-f（x）.
故属于集合P的函数必是奇函数.
由上述结论可知，如果一个函数不是奇函数，则此函数必不属于集合P，而二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）必定不是奇函数，所以f（x）=ax2+bx+c（a≠0）∈P.
点评 本题难度不大，但突然面对时，还是有点不知所措.特别是第三问，“从函数性质方面提出一个有价值的结论”，函数性质很多，单调性、奇偶性、对称性、同期性等，到底要从哪方面入手呢？还要一个“有价值的结论”，什么样的结论才算有价值？针对上述的解答，我们可以看出，这个结论有价值，因为它很顺利地解决了下一个问题.
四、探索型
发现问题、提出问题、解决问题是探索型试题的基本特征，研究型问题的求解除了要全面了解试题的条件与试题所涉及的技能外，还要善于观察、猜测、抽象、概括.
例4 已知函数y=f（x）满足： f（x）=sin？仔x， （-1≤x
（Ⅰ）分别写出x∈[0，1）时，y=f（x）的解析式f1（x）和x∈[1，2）时y=f（x）的解析式f2（x）；并猜想x∈[n，n+1），n≥-1，n∈Z时，y=f（x）的解析式fn+1（x）（用x和n表示）（不必证明）；
（Ⅱ）当x=n+（n≥-1，n∈Z）时，y=fn+1（x），x∈[n，n+1），（n≥-1，n∈Z）的图像上有点列An+1（x，f（x））和点列Bn+1（n+1，f（n+1）），线段An+1Bn+2与线段Bn+1An+2的交点Cn+1，求点Cn+1的坐标（an+1（x），bn+1（x））；
（Ⅲ）在前面（Ⅰ）（Ⅱ）的基础上，请你提出一个点列Cn+1（an+1（x），bn+1（x））的问题进行研究，并写下你研究的过程.
解析（Ⅰ）当x∈[0，1）时，x-1∈[-1，0），
f1（x）=f（x-1）+1=sin？仔（x-1）+1=1-sin？仔x.
当x∈[1，2）时，x-2∈[-1，0），
f2（x）=f（x-1）+1=f（x-2）+2=sin？仔（x-2）+2=2+sin？仔x.
当x∈[n，n+1），n≥-1，n∈Z时，x-（n+1）∈[-1，0），
fn+1（x）=f（x-1）+1=…=f[x-（n+1）]+（n+1）=n+1+（-1）n+1sin？仔x.
（Ⅱ）当x=n+时，由于f（n+）=n+1+f（-）=n+1+sin（-）=n，从而得An+1（n+，n），又f（n+1）=n+2+f（-1）=n+2+sin（-P）=n+2，于是，得Bn+1（n+1，n+2），又由kAA=1，kBB=1且kAB=4，kAB=4得四边形An+1An+2Bn+2Bn+1为平行四边形，而线段An+1Bn+2与线段Bn+1An+2的交点Cn+1即为对角线的交点，其坐标为Cn+1（n+，n+）.
（3）（视问题的难易度给予不同的评分）
第一类，参考问题一：在（Ⅱ）的条件下，点Cn+1与Cn+2之间具有怎样的数量关系？
解答： Cn+1Cn+2=.
第二类，参考问题二：在（Ⅱ）的条件下，Cn+1与Cn+2之间具有怎样的位置关系？
解答：Cn+1与Cn+2在直线上y=x+上.
第三类，参考问题三：把（Ⅱ）的条件x=n+改成x∈[n，n+1）时，点Cn+1（an+1（x），bn+1（x））的运动曲线是什么？
解答：yc=，xc∈（0，），xc∈（1，），xc∈（2，）……即yc=，xc∈（n，）只需写出一个区间段上即可.
点评 本题是将数列与函数、解析几何等知识点交汇在一起设计的一道探索型创新试题.本题考察学生对数列与函数综合问题的分析与处理能力及借助某一现象或性质，提出问题与研究问题的能力.试题难度中等偏上，考生得分容易，得高分难.
五、开放型
开放型创新问题分三类：条件开放型、结论开放型、综合开放型，对于开放型创新问题的求解，往往都是先归纳、类比或假定条件（或结论或探求的某一内容）存在，然后推理、分析，最终产生结论.
例5 设xn=，试构造一个关于数列（xn）与n！的不等式，并证明该不等式是正确的（其中n！=n（n-1）·…·2×1）.
解析 n=2 时，x3-x2=-
于是构造：xn+1-xn
当n>2时，构造数列{ai}，{bi}，{ci}使ai=
；bi=；
ci=aii-1+aii-2bi+…+aibii-2+bii-1.
显然xn+1=a2，xn=b2且（ai-bi）ci=aii-bii=ai+1-bi+1？圯
=ci，结合恒等式 ① ？圯a2-b2==.
又ak>bk≥？圯ck≥k·>k·？圯xn+1-xn=a2-b2
故结论成立.
点评 本题是结论开放型试题，欲构造出这样的试题有较大的难度，必须通过一些特殊情况的检证、分析、抽象产生问题.然后，再考虑证明，而证明又不简单，通过构造数列，再进行适当放缩完成构造与证明.
六、研究型
研究型创新试题是命题者提供一个基本素材，考生建立在这个素材的基础上通过研究其深度、广度产生一般性的结论，此类题往往有较大难度.
例6 C1和C2是平面上两个不重合、不内切、不内含的固定圆，C是该平面上的一个动圆，C与C1，C2都相切，则圆C的圆心轨迹是何种曲线？说明理由.
解析 两定圆的半径的大小关系、位置关系将影响动圆的圆心轨迹，因此，从定圆的半径的大小、位置关系入手进行曲分类讨论：
假设圆C1，C2的半径分别为r1，r2，动圆C半径为r，分以下情况进行研究：
1. 如果r1=r2，
（1）当两圆C1，C2相离时，
①若动圆C与两个圆都外切时，则|CC1|=r+r1，|CC2|=r+r2，因此|CC1|=|CC2|，动圆圆心轨迹为线段C1C2的垂直平分线.
②若动圆C与两个圆都内切时，则|CC1|=r-r1，
|CC2|=r-r2，因此|CC1|=|CC2|，动圆圆心轨迹为线段C1C2的垂直平分线.
③若动圆C与两个圆中的一个外切，另一个内切时，则||CC1|-|CC2||=r1+r2
（2）当两圆C1，C2外切时
①若动圆C与两个圆都外切时，则|CC1|=r+r1，|CC2|=r+r2，因此|CC1|=|CC2|，动圆圆心轨迹为线段C1C2的垂直平分线，但应除去两圆的切点.
②若动圆C与两个圆都内切时，则|CC1|=r-r1，|CC2|=r-r2，因此|CC1|=|CC2|，动圆圆心轨迹为线段C1C2的垂直平分线.
③若动圆C与两个圆中的一个外切，另一个内切时，则||CC1|-|CC2||=r1+r2
（3）当两圆C1，C2相交时，
①若动圆C与两个圆都外切时，则|CC1|=r+r1，
|CC2|=r+r2，因此|CC1|=|CC2|，动圆圆心轨迹为线段C1C2的垂直平分线，但应除去两圆的公共弦.
②若动圆C与两个圆都内切时，则|CC1|=r-r1，|CC2|=r-r2，因此|CC1|=|CC2|，动圆圆心轨迹为线段C1C2的垂直平分线.
③若动圆C与两个圆中的一个外切，另一个内切时，则||CC1|+|CC2||=r1+r2
2. 如果r1≠r2，不妨设r1>r2，
（1）当两圆C1，C2相离时，
①若动圆C与两个圆都外切时，则|CC1|=r+r1，
|CC2|=r+r2，因此|CC1|-|CC2|=r1-r2
②若动圆C与两个圆都内切时，则|CC1|=r-r1，|CC2|=r-r2，因此|CC1|-|CC2|=动圆圆心轨迹为以C1，C2为焦点的双曲线一支.
③若动圆C与两个圆中的一个外切，另一个内切时，则||CC1|-|CC2||=r1+r2
（2）当两圆C1，C2外切时，
①若动圆C与两个圆都外切时，则|CC1|=r+r1，|CC2|=r+r2，因此|CC1|-|CC2|=r1-r2
②若动圆C与两个圆都内切时，则|CC1|=r-r1，|CC2|=r-r2，因此|CC1|-|CC2|=r1-r2
③若动圆C与两个圆中的一个外切，另一个内切时，则||CC1|-|CC2||=r1+r2=|C1C2|（或||CC1|+|CC2||=r1+r2），动圆圆心轨迹为直线C1C2，但应除去点C1，C2以及两圆的切点.
（3）当两圆C1，C2相交时，
①若动圆C与两个圆都外切时，则|CC1|=r+r1，|CC2|=r+r2，因此|CC1|-|CC2|=r1-r2
②若动圆C与两个圆都内切时，则|CC1|=r-r1，|CC2|=r-r2，因此|CC1|-|CC2|=r1-r2
③若动圆C与两个圆中的一个外切，另一个内切时，则||CC1|-|CC2||=r1+r2>|C1C2|动圆圆心轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆但应除去两圆公共区域内的部分.
点评 本题建立在轨迹纯粹性的基础上设计的研究型试题，总体难度并不大，但对问题的完善求解却关不易，情况复杂、类型众多.没有平时的严谨操练是难以较好的完成求解的.
创新试题是高考命题改革的重要成果，也是当年高考命题的最新动向，当然，更是当年高考将考生分成不同层次的典型试题，它始终是高三师生关注的重点与热点.本文仅列举了可能出现的几种类型，是不是仅有这几种类型呢？非也.原因很简单，若是，它就不再是创新型了.因此，在高考复习的关键时刻，对于一些基础较好的同学，广泛猎取、全面收集、精心研读是取得理想分数的必要条件.
（作者单位：中山市实验高中）
责任编校 徐国坚