双锥体“上”滚的临界条件的推导及原因浅析

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摘要：双圆锥体放于锥体上滚实验仪,双圆锥体放于轨道上,视角上体现了锥体由低向高处滚动的一种视运动形式,通过重心降低体现重力做功,使之重力势能转化为动能,来验证机械能守恒定律。

关键词：双锥体；实验；推导

【中国分类法】G642.423

高一物理必修Ⅰ（鲁教版）第四章第一节《重力与重心》中有一个《迷你实验》，介绍了圆锥为什么会向“上”滚的的实验：将两个完全相同的匀质圆锥体的底面同轴地粘成一个双锥体，取两本厚度不同的书放在水平桌面上，将两根相同的细棒OM,ON的一端放在较薄的书上，另一端靠在厚书的书脊上，并用线或杆将M和N固定，使两棒和厚书的书脊形成等腰三角形，从而形成一个斜面，把双锥体放在棒靠近O点的一端，并使锥轴与书脊平行，且椎体和二棒的切点A.B对过椎体总心G和锥轴垂直的平面，如图1所示。设圆锥体顶角为2α，两棒间的夹角为2β，两棒组成的斜面和水平面的夹角为γ，三个角的大小间只要满足一定的条件，圆锥体放在斜轨道上就会自动“上”滚。下面通过分析得出双锥体自动上滚的几何条件和力学条件。图1

一双锥体自动上滚的几何条件的推导。

根据双锥体和轨道的俯视图如图2（a）和图2（b）所示，分别

图2（a）图2（b）

图3（1）图3（2）图3（3）

做出双锥体的俯视图3（1）和轨道的俯视图3（2）及侧视图3（3）所示。由图中的关系得 ①

②

③

④

其中h是双锥体下降的高度，其中l是导轨中线的长度。

若轨道平面的临界角为γ，双锥体由CD滚至AB时双锥体轴线与水平面高度为hl，则 ⑤

hl=tanγ•l⑥

要使双锥体滚动（起动），必须满足的几何条件hl

tanα•tanβ>tanγ⑦

二双锥体自动上滚的力学条件的推导

建立如图4所示的三维直角坐标系，椎体半高度为y0，由图4可

图4

以看出整个系统关于oxz平面对称，只需对y≥0一侧进行讨论，因此有(z-z0)2+(x-x0)2-(y-y0)2•tanγ=0①

②

其中，圆锥体与导轨的切点坐标为(x,y,z),圆锥面的顶点坐标为(x0,y0,z0)，则有0≤y≤y0，而(x0,0,z0)则表示该双圆锥体的质心坐标。

根据直线与圆锥面相切的条件，可以由①②得到圆锥面的质心坐标x0,y0,z0以及圆锥面与导轨的切点坐标系所满足的方程为

③

将②③代入①约去x,y和x0后可得

④

上式说明双圆椎体质心坐标 是由圆锥面与导轨的切点坐标z以及系统参数方程y0,α,β,γ共同决定的。解式④关于z0方程可得双圆锥体的质心与切点两者沿滚动方向的坐标之间的关系为

⑤

由⑤可知，在tanα•tanβ>tanγ的几何条件下，双圆锥体的质心坐标与切点坐标两者沿滚动方向的坐标之间的关系 ，即双圆锥体的质心坐标在滚动方向上超前于切点坐标，这说明了双圆锥体的重力产生了力矩并且该重力力矩起到了动力力矩的作用从而使双圆锥体沿导轨向上滚动。