数学教材的拓展与升华
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在依托教材的基础上，根据实际需要对教材进行适度的拓展和延伸，挖掘教材资源的深层价值，可最大限度地发挥教材的功能.
具体到一节课，可以从以下几个方面入手研读教材：理解教材整体结构及前后联系，明确例题的地位和作用，弄清习题和例题的关系.
【案例1】 （人教版）椭圆及其标准方程，在给出了椭圆的定义后，要求根据椭圆的定义求出椭圆的标准方程.
尽管课本已归纳了求曲线方程的几个步骤：
① 建立适当的坐标系，用有序实数对如(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；
② 根据题意，写出适合条件P的点M的集合PM|P（M）；
③ 用坐标表示条件P（M），列出方程f(x,y)=0；
④ 化方程f(x,y)=0为最简形式；
⑤ 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
但在此学生刚接受了椭圆的定义，求圆锥曲线的方程对学生来说是陌生的，有一定的难度.笔者认为在给出了椭圆的定义后可以安排下面这样一个例题，一方面熟悉求曲线方程的知识，另一方面，可为求椭圆的一般方程做一个过渡.
【例1】 平面上两个定点F1、F2的距离为10，动点M到两个定点F1、F2距离之和为26.（1）判断动点M的轨迹；（2）求动点M的轨迹方程.
解：（1）动点M到定点F1、F2的距离之和为常数26，故M点的轨迹为椭圆.
（2）求动点M的轨迹方程.
①以F1F2所在直线为x轴，以线段F1F2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设M点的坐标为(x,y)；
②M点满足的条件为|M F1|+|M F2|=26；
③用坐标表示M点满足的条件即为
（x+5）2+y2+(x-5)2+y2=26;
④化简上式变形为
(x+5)2+y2=26-(x-5)2+y2
，两边平方整理得
(x-5)2+y2=13-513x，两边再平方得
x2-10x+25+y2=132-10x+(513x)2，整理得x2132+y2122＝1，
即x2169+y2144=1.
⑤证明（略）.
在此，求曲线的方程、化简曲线的方程对学生来说都是比较陌生，比较困难的，尽管在课本（人教版）P106安排了化简含根式的方程的习题，在此笔者认为安排下面这样一个例题是必要的.
下面再由具体到抽象，从特殊到一般，可以按照教材的安排求出椭圆的标准方程x2a2+y2b2=1(a＞b＞0).
为了进一步熟悉求曲线的方程，以下可安排学生自己练习，当椭圆的焦点坐标为F1（0，-c）, F2（0，c）,椭圆上的点到两焦点的距离为2a时，椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0).
【案例2】 在课本（人教版）的习题中，6，7两题又在求椭圆的标准方程的基础上加大了难度，增强了解决问题的技巧性.为了解决这些问题，培养学生的解题技能，对教材进行拓展和延伸是非常必要的，在此笔者对例2进行如下的拓展延伸.
【例2】 已知B、C是两个定点，|BC|=6，ABC的周长等于16，P1、P2为ABC底边的BC上的中线OA的两个三等分点，求点P1的轨迹方程.
解：①以BC所在的直线为x轴，以线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设P1的坐标为(x′,y′).
②要求写出P1的坐标(x′,y′)满足的条件（难点），在此x′,y′两个变量没有直接的联系，但我们看能不能把x′,y′与A点的坐标x,y联系起来.P1为OA的一个三等分点，由图可得，x′x=23,y′y=23，从而有x=32x′,y=32y′，A点的坐标x、y之间有对这两个概念的理解，收到了较好的教学效果.充分尊重学生的主体地位，通过数学教学，在获取数学知识的同时，让学生主动学习自行获取数学知识的方法，培养主动参与数学实践的本领，进而获得终身受用的数学能力、创造能力和社会活动能力.
二、激发学生思维促使学生全面发展
每个学生都渴望获得成功，都想要证明自己的的价值.但又并非每一个人都能获得成功，表现自己.如何才能使学生在学习数学活动的过程中获得成功？这里就需要发挥教师的作用.教学实践证明，精心创设各种教学情境，能够激发学生的学习动机和好奇心，培养学生的求知欲望，调动学生学习的积极性和主动性，引导学生形成良好的意识倾向，促使学生主动地参与.增强学生的愉快情绪和探索兴趣.运用设问、提问、实验等方式，创设激感，创设一定的问题情境，来调动学生思维活动的积极性和主动性.教师要从学生的学习能力出发，从学生的知识水平出发，结合平常的教学活动的每一个细节因势利导，设置多个台价，分步到位，化难为易，为每个学生创造成功的机会.如我在讲“众数和中位数”时，首先是对学生的家长工作进行调查，对鞋店、成衣店的家庭学生提出问题：每天经营下班时你爸妈最关心店里的问题是什么？回答是多种多样，五花八门的.接着我又问：如果你是鞋店的老板，要想获得最好的效益，下次怎样进货？你最关心的问题是什么？这时激发和启发学生活跃思维.对众数和中位数概念的理解收到了良好的效果.我在讲：线段AC和BC在一条直线上，E、F分别是AC、BC的中点，如果AC=5.6cm，BC=2.4cm，求EF的长时，将原来的一问改为两问；（1）求EC、CF的长，这一问题比较简单，只要根据中点定义，就可求出，把这一问题交给学习有一定困难的学生，使他们尝到成功的喜悦，增强学习的积极性，同时也为下一问题目提供思考的“阶梯”.（2）求EF的长，由于题中没有画图，点B的位置不固定，先由学生分组讨论得出，可能出现两种情况：①点B线段AC上，这时EF=EC-FC，②点B在线段AC的延长线上，这时EF=EC+FC，这一问题情境的设计，有利于学生活跃思维，培养创新精神和创新能力，有利于学生真正成为学习主体，有利于个性品质的形成和发展.让学生能够按各自不同的目的、不同的选择、不同的能力、不同的兴趣选择不同的教学并得到发展，能力较强者能够积极参与数学活动，有进一步的发展机会；能力较低者也能参与数学活动，完成一些特殊的任务.这个过程也体现了教学目标的多元整合性.使学生可以全面发展.
三、重视培养发散性思维确保其参与教学活动的持续的热情
发散思维即求异思维，是创造性思维中重要的组成部分，是对数学中的定理和命题进行不同角度、不同层
次、不同情形、不同背景的变式，以暴露问题的本质特征，揭示不同知识点间的内在联系的一种教学设计方法.发散思维具有流畅性，变通性和独特性等特点，即思考问题时注重多途径，多方案，解决问题时注重举一反三，触类旁通.通过变式教学，使一题多用，多题重组，常给人以新鲜感，能唤起学生的好奇心和求知欲，因而能产生主动参与的动力，保持其参与教学过程的兴趣和热情.因此，正确培养和发展学生的发散思维，对造就创造型人才，至关重要.
如在有理数一章的教学中，比较 -67、-78、0.9的大小，我要求学生不仅会用绝对值大的负数反而小的方法比较几个负数的大小，而且要求学生能利用被减数-减数>0，则被减数>减数，被减数-减数
通过一题多解的训练，提高学生思维的流畅性.而且，在课外作业“作等腰梯形，使高为a，上底为b，下底为c”时，不少同学在作业本上用了多种方法来解，最多的用了四种解法.