一个构思精妙的轨迹问题

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2011年高考数学天津卷（理）整体难度偏大，但试卷中也有不少亮点试题，笔者比较欣赏其中的第18题（以下简称为试题18）.

试题18：在平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)(a>b>0)为动点，F1,F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1的左右焦点．已知F1PF2为等腰三角形．

（Ⅰ）求椭圆的离心率e；

（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A,B两点，M是直线PF2上的点，满足AM•BM=－2，求点M的轨迹方程．

试题设问巧妙，梯度合适.特别是第（Ⅱ）小题求轨迹方程，命题构思有所创新.具体地说，该题有如下特点：

[HTH]1.设问巧妙，梯度合适[HT]

试题18的亮点和难点主要集中在第（Ⅱ）小题，但第（Ⅰ）小题设计也非常精巧.命题者构造“F1PF2为等腰三角形”这一条件，设计了第（Ⅰ）题：求椭圆的离心率.这个问题条件清晰，容易入手.结合图形容易判断等腰三角形中应该是F1F2与PF2这两边相等（∠PF2F1为钝角），由此可直接得到关于a,b,c的等式，解出离心率e.从而考生不至于走弯路，降低了解题的门槛.

[HTH]解[HT]：（Ⅰ）如图1，由条件知，|F1F2|=|PF2|，即

[TPSX1.tif,BP][TS(1][JZ][HT6H]图1[TS)][HT]

2c=(a－c)2+b2，平方化简可得a2－ac－2c2=0，则a=2c，a=-c(舍).故e=12.

第（Ⅱ）题求轨迹方程则难度加大，这有利于区分.试题由易到难，梯度合适.

[HTH]2.打破常规，形式新颖[HT]

2011年高考解析几何试题中，轨迹问题可以说又成为一大热点，除了天津（文、理）外，还有全国卷Ⅰ（理）、江西卷（理）、安徽卷（文、理）、湖北卷（文、理），其中的解析几何试题都是以轨迹问题为背景命制的.但是，由于轨迹试题司空见惯，若无创新，则容易走进陈题套路之中.比如，湖北卷、江西卷（理）和安徽卷（文）的解析几何试题，由于是以同一个熟知的轨迹问题――“平面内与两定点连线的斜率之积等于常数的点的轨迹”为背景，因而不幸“撞车”，缺乏新意.

同样是轨迹问题，天津卷作了大胆的尝试.

试题18第（Ⅱ）小题所求轨迹之动点M是这样生成的：设直线PF2与椭圆相交于A,B两点，M是直线PF2上的点，满足AM•BM=－2.

由于点P是动点，因此a，b的值是变化的，椭圆是动椭圆，弦AB也是变动的，M随之变动.

由椭圆变动（离心率固定）产生相应的动点轨迹问题在以往的高考题中并不多见，试题18打破常规，令人耳目一新，是一道颇具特色的轨迹试题.

[HTH]3.解法多样，难而路宽[HT]

如上所述，因试题18所求轨迹问题比较少见，求解过程自然增加了不小的难度.不过求动点轨迹方程的思路清晰，其难点更多来自于运算方面.

[JP+1]由于试题18经精心设计，可求得直线PA的倾斜角为60°；而且A点恰为椭圆的顶点（如图2），从而简化了求解过程中的运算.特殊位置（点A）及特殊角（PF2的倾斜角）也使得解法丰富多样.试题虽有难度，但路还是比较宽，足见命题者构思之巧妙.[JP]

[TPSX2.tif,BP][TS(][JZ][HT6H]图2[TS)][HT]

这里介绍一种不同于试题18参考答案的解法.[FL）][HJ][WT]

[LM]

[FQ（20。46，ZX-W]

[CDF46]

[WTBX]

[HTH]解[HT]：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a=2c，则b=3c.

直线PF2的斜率为k=ba－c=3.

可设直线方程为y=3(x－c).[JY]①

代入椭圆方程得x2a2+3(x－c)2b2=1，即

x24c2+(x－c)2c2=1，化简得5x2－8cx=0，

解之，得xA=0，xB=8c5.

设M(x,y)，则其坐标满足①.

由题设AM•BM=－2知，M在线段AB上，即有0＜x＜8c5,且|AM|•|BM|=2.

因AB的倾斜角为60°，结合图2可知,|AM|•|BM|=2x•2(8c5－x)=2.

化简得2x2－16c5x+1=0.[JY]②

由①②消去参数c就得所求轨迹方程是18x2－16[]3xy－15=0(x>0).

与试题提供的参考答案直接用向量数量积的繁杂运算相比，上述解法由于充分地利用了图形的特殊性，数形结合，从而大大简化了运算.基于试题18的精心设计，我们才可能利用图形特征得到这一简洁解法.

[HTH]4.美中不足，轨迹陌生[HT]

试题18最后求得的轨迹方程为18x2－163xy－15=0(x>0)，其图形是双曲线的一支.由于高中阶段学生未曾接触过这种非标准型的双曲线方程，所以求得的轨迹对学生而言是陌生的.虽说这仍属于曲线与方程范畴内的知识，并未超纲，但由于是陌生的轨迹，其方程又不简洁，考生即便求出了轨迹方程仍会感觉心里没底.再者，对于求轨迹方程问题，本应验证其纯粹性和完备性，但由于轨迹图形不明，考生对此很有可能是不了了之.

上述小小的缺陷显然无法弥补，但瑕不掩瑜，仍不影响此题成为一道经典试题.