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图形存在性问题在近年来中考中屡见不鲜.这类问题常常以图形的变化或图形上点的运动为主线,要求我们判断和说明符合某一结论的现象是否存在.解答它们,应先假设这种现象存在,再考虑化“动”为“静”的策略,从构造方程关系式或构造函数关系式入手进行判断和说明.
一、从构造方程关系式入手判断和说明存在性
例1 (临沂市)已知,在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,动点M从点A出发沿边AD向点D运动.
(1)如图1,当b=2a,点M运动到边AD的中点时,请证明:∠BMC=90°.
(2)如图2,若b≠2a时,点M在运动的过程中,是否存在∠BMC=90°?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.
解析 :(1)应先证明∠AMB+∠DMC=90°.
因为四边形ABCD是矩形,
所以∠A=∠D=90°.
因为b=2a,点M是边AD的中点,
所以AB=AM,DM=DC.
所以ABM和DMC都是等腰直角三角形.
所以∠AMB=45°,∠DMC=45°.
所以∠BMC=180°-(∠AMB+∠DMC)=90°.
(2)假设存在,则存在符合要求的正实数 ,使得AM=x.由∠BMC=90°时,得∠AMB=90°-∠DMC=∠DCM.
所以RtABM∽RtDMC.
所以 AM DC = AB DM .
因为AM=x,DC=AB=a,DM=b-x,
所以x2-bx+a2=0.
当b>2a时,Δ=(b+2a)(b-2a)>0,且两根均大于0,
所以存在两个不同的正实数x,使得AM=x,必存在使∠BMC=90°的点M.
当b<2a时,Δ=(b+2a)(b-2a)<0,
所以不存在正实数x,使得AM=x,必不存在使∠BMC=90°的点M.
说明:解答(1)的关键在于将证明∠BMC=90°转化为证明ABM和DMC都是等腰直角三角形;解答(2)的关键在于发现若∠BMC=90°,则ABM∽DMC.根据其对应边的比相等的性质,能构造一个关于x的一元二次方程.接下去只需要判断或说明这个关于x的一元二次方程是否存在正实数根.
例2 (南通市)如图3,在ABC中,AB=AC=10 cm,BC=12 cm,点D是BC边的中点,点P从点B出发,以acm/s (a>0)的速度沿BA匀速向点A运动;点Q同时以1 cm/s的速度从点D出发,沿DB匀速向点B运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设它们运动的时间为 t s.
(1)若a=2,BPQ∽BDA,求t的值;
(2)点M在AC上,四边形PQCM为平行四边形.
①若a= 5 2 ,求PQ的长;
②是否存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.
解析 :(1)在ABC中,由AB=AC=10,BC=12,点D是BC的中点,得DB=DC= 1 2 BC=6.
因为BPQ∽BDA,
所以 PB DB = QB AB .
因为a=2时,PB=2t,DQ=t,QB=DB-DQ=6-t,
所以2t 6 = 6-t 10 ,t= 13 18 .
(2)①由四边形PQCM为平行四边形,得∠PQB=∠C=∠B,PQ=PB=
5 2 t
.
因为PQ∥AC,
所以PBQ∽ABC.
所以 PB AB = QB BC .
所以5 2 t 10 =
6-t 12 ,t= 3 2 .
所以PQ= 5 2 t= 15 4 .
(2)②假设存在符合要求的实数a,连CP.
因为CP平分∠ACB,PM∥CQ,
所以∠PCQ=∠PCM,∠PCQ=∠CPM.
所以∠PCM=∠CPM,PM=CM.
所以四边形PQCM是菱形.
所以PB=PQ=CQ=DC+DQ.
所以at=6+t.
因为PBQ∽ABC,
所以 PB AB = QB BC .
所以 at 10 = 6-t 12 ,at=
5 6 (6-t).
所以6+t= 5 6 (6-t),t=-
6 11 ,a=-10.
因为a>0.
所以不存在实数符合要求的a,使得点P在∠ACB的平分线上.
说明:解答(1)的关键在于利用BPQ∽BDA的条件,根据其对应边的比相等的性质构造一个关于t的方程;解答(2)①的关键在于从四边形PQCM为平行四边形入手推出BPQ为等腰三角形及PBQ∽ABC;解答(2)②的关键在于发现,若点P在∠ACB的平分线上时,四边形PQCM是菱形,根据PB=PQ=CQ且
PB AB = QB BC
,能得两个关于a和t的方程.
二、从构造函数关系式入手判断和说明存在性
例3 (南充市)如图5,在RtPOQ中,OP=OQ=4,M是PQ中点,把一三角尺的直角顶点放在点M处,以M为旋转中心,旋转三角尺,使三角尺的两直角边与POQ的两直角边分别交于点A、B.
(1)求证:MA=MB;
(2)连接AB,探究:在旋转三角尺的过程中,AOB的周长是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.
解析 :(1)如图6所示,连接OM,只需证明AMO ≌BMQ.
因为POQ是等腰直角三角形,且M是斜边PQ的中点,
所以OM= 1 2 PQ=QM,OMPQ,OM平分∠POQ.
所以∠AMO=90°-∠OMB=∠BMQ,∠MOA=∠MQB=45°.
所以AMO ≌BMQ.
所以MA=MB.
(2)假设存在,则存在正实数x,使得AO=x,且使得AOB的周长l有最小值.
因为AMO ≌BMQ,
所以BQ=AO=x.
所以BO=OQ-BQ=4-x.
因为∠AOB=90°,
所以AB=AO2+BO2=
x2+(4-x)2.
所以l=AO+BO+AB=4+x2+(4-x)2.
因为x2+(4-x)2=2(x-2)2+8,
所以当x=2时,x2+(4-x)2有最小值为8.
所以l的最小值=4+22.
所以在旋转三角尺的过程中,AOB的周长存在最小值为4+22.
说明 :解答(1)的关键在于连接OM,将证明MA=MB转化为证明AMO ≌BMQ;解答(2)的关键在于构造l与x的函数关系式,并利用配方方法确定
x2+(4-x)2的最小值为8.
例4 (德州市)如图7所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合),将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH.
(1)求证:∠APB=∠BPH;
(2)当点P在边AD上移动时,PDH的周长是否发生变化?并证明你的结论;
(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,试问S是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
解析 :(1)注意到AD∥BC,那么∠APB=∠PBC.
因为四边形EFCB沿折痕EF折叠后与四边形EFGP重合,
所以∠PBC=∠BPH.
所以∠APB=∠BPH.
(2)如图8,过B作BQPH于点Q.
因为∠APB=∠BPH,
所以点B在∠APH的平分线上.
所以BQ=BA=BC.
所以RtABP≌RtQBP,RtBCH≌RtBQH.
所以QP=AP,QH=CH.
所以PH=AP+CH.
所以PDH的周长=DP+(AP+CH)+DH=AD+CD=8.
所以点P在边AD上移动时,PDH的周长不会发生变化.
(3)假设四边形EFGP的面积S存在最小值.由于四边形EFCB沿折痕EF折叠后与四边形EFGP重合,则S=
BE+CF 2 •BC
.接下去的任务是如何用x分别表示BE和CF.
因为∠A=90°,
所以AP2+AE2=PE2.
因为AP=x,PE=BE=4-AE,
所以x2+AE2=(4-AE)2.
所以AE= 16-x2 8 ,BE=4-AE=
16+x2 8 .
过F作FMAB,垂足为M,则FM=BC=AB,CF=BM.
因为EF为折痕,点B与点P是一对对应点,
所以EFBP.
所以∠PBA=90°-∠FEM.
因为∠EFM=90°-∠FEM,
所以∠PBA=∠EFM.
因为∠A=90°=∠EMF,
所以PAB≌EMF.
所以ME=AP=x,CF=BE-ME= 16+x2-8x 8 .
所以S= BE+CF 2 BC=
1 2 x2-2x+8=
1 2 (x-2)2+6.
因为当 x=2时,S的最小值为6,
所以四边形EFGP的面积S存在最小值为6.
说明 :解答(1)的关键在于利用轴对称图形的性质证明∠PBC=∠BPH;解答(2)的关键在于过B作BQPH于点Q,并利用(1)的结论证明BQ=BA=BC;解答(3)的关键在于用x分别表示BE和CF.要用x表示BE离不开用
x表示AE,要用x表示CF,过F作FMAB至关重要.