现行高等数学教材中全导数概念的命名辨析

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摘 要 对现行高等数学教材中全导数概念在教学过程中反映出的一些问题进行讨论与分析，基于导数、偏导数、方向导数概念的一致性和数学概念命名的逻辑原则要求，提出对全导数不予命名的建议。

关键词 高等数学；教材；全导数

中图分类号：G642.0 文献标识码：B 文章编号：1671-489X（2013）12-0098-02

导数概念是微积分学中最重要的概念之一。现行高等数学教材中主要讲述一元函数的导数、多元函数的偏导数、方向导数、复合函数的全导数等概念。全面、系统、准确地理解并掌握导数概念是微积分学中最基本与最重要的教学目的之一。为了在实际教学过程中能够顺利地完成与实现这一教学目的，基于对高等教学多年的教学实践中教与学两方面反映出的问题的总结分析，笔者认为现行高等数学教材中关于“全导数”概念的命名有值得商榷之处。

数学思维的突破点为数学发展历程中的一个重要转折点，也为学生的学习难点，学习者的认知过程会“重演”它的发展经过。因此，就数学教学过程而言，学生就会有一些问题：“全导数”在什么样的情况下提出来的？如何理解“趋近于”？想要弄清楚这些问题，就要认真研究数学的发展历程，站在哲学的视角去认识导数。通过这种方法不仅能够帮助了解导数的概念，还能够帮助构建准确的数学概念。

回想导数概念的发展历程，从中得知导数的内涵要早于极限的内涵，就像积分要早于微分一样。大多数人都知道，于古时候的穷竭法里已有积分内涵的萌芽，然而积分的内涵与方法差不多是和近代力学一起出现并发展起来的，其也经过一段时间的酝酿。

同济大学数学教研室编的《高等数学》（第四版）中关于“全导数”概念的表述为：将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形。定理：如果函数u=j（t）及v=ψ（t）都在点t可导，函数z=?（u，v）在对应点（u，v）具有连续偏导数，则复合函数z=?[j（t），ψ（t）]在点t可导，且其导数可用下列公式计算：

公式中的导数称为“全导数”。用同样方法，可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形[1]。目前国内高校选用较多的一些新编高等数学教材中大都沿用这种表述[2]。

对于高等数学教材中导数概念的定义具有很多的争议，很多人认为微积分是将极限理论作为理论前提的，极限运算为微积分运算的一种方法，学生只有掌握好极限，才有可能将导数知识学好；然而也有一部分人认为，极限理论的学习一直为微积分学习中的一个难点。

基于这种定义，明显存在一些问题。

1）与多元函数的偏导数概念相比较，这种“全导数”仅仅是针对多元函数中复合函数求导数的一种特殊情形提出来的。就复合函数而言，复合过程比较复杂，有一元函数与多元函数、多元函数与多元函数，中间变量的个数为两个以上等情形。而上述“全导数”定义中的复合函数只是一个自变量的函数，只不过同一层次的中间变量多于两个，本质上讲这种复合函数仍然是一元函数。仅此原因就引出“全导数”概念，其理由是不充足的。

2）命名中“全”字的汉语意义中，有“全面、全部、全体”等含义，用来表述一种特殊情形下的导数，逻辑上直觉表现为“定义过宽”。这种“全导数”概念与一元函数的导数、多元函数的偏导数、方向导数、全微分概念的逻辑关系难以界定[3]。

3）反映在实际教学过程中，对于学生理解有关导数、偏导数、方向导数、全微分等概念会形成障碍。

①由导数概念的实际背景，知道函数变化率就是导数。基于导数的思想及其内涵，教材中一元函数的导数、多元函数的偏导数、方向导数的定义都是建立在极限理论基础之上，这些概念的一致性是显然的，而所谓“全导数”概念并不具备这种一致性。学生在学习过程中总是自觉不自觉地把这些导数联系起来，教师虽然可以对此做出解释，却陡增节外生枝之感。

②全微分概念是多元微积分学中又一重要概念，教材中重点讨论偏导数与全微分之间的关系。由于所谓“全导数”概念的提出，教学过程中必须对其与全微分概念之间的关系加以解释，以解学生想当然地将全导数与全微分联系之惑，否则对于顺利理解全微分概念势必形成干扰。

通常情况下，不可以用函数?（x）于x1的极限求出?（x1）。如果?（x）在x1连续，然而导函数却不同，即使条件不强也能够这样做。定理：假设函数?（x）于区间[x1，x1+k]（k>0）里连续，并且当x>x1时导数为有穷?（x）；如果?（x1+0）是存在的，那么导数?（x1+0）=导数?（x）。经过证明发展，其具有两方面的意义。

第一方面的意义：导函数于某点的单侧极限存在，那么此点的同侧导函数一定会存在；如果该左右极限均相同，极限就为此点的导数。这表明导函数的极限能够求解导数值。该种方法在点比较特殊的时候，导数很难求出来，然而采用导函数单侧极限来求解就比较容易。

第二方面的意义：如果某点的导数是存在的，那么导函数于此点的左右极限均在而且相同，这也说明导函数不可能存在跳跃间断点。也可以说，存在跳跃点的函数是不存在原函数的，也就是不可能为哪个函数的导函数。这表明含有跳跃点的函数是不可能求出不定积分的。

综上所述，究其原因是由于“全导数”概念的命名形成的。想要解决这个问题可以采用两种方法：第一种方法是重新命名高等数学教学中导数的概念；另一种方法就是不命名，仍叫其原来的名称。作为教材中复合函数求导法则的内容，如果将导数命名为“复合导数”，不足以表达所有复合函数的导数，似为有些不妥。笔者认为，联系高等数学的教学实际，为了突出并顺利地理解掌握一元函数导数、偏导数、方向导数、全微分等有关概念，本着教材编写中删繁就简的原则，避免小题大做，只将其作为“链式法则”中的一个导数公式即可，不必做“全导数”的命名。

参考文献

[1]同济大学数学教研室.高等数学：下册[M].北京：高等教育出版社，1996：30.

[2]郭桥，资建民.大学逻辑导论[M].北京：人民出版社，2003：13-33.

[3]上海市教育委员会.高等数学：多元微积分及其教学软件[M].北京：科学出版社，1999：155-156.