粘弹性轴向运动带动力学建模及其机械能变化分析
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摘要： 为进一步分析、研究稳定性特性，推导了粘弹性轴向运动带机械能变化方程。首先推导了考虑横向和纵向振动时轴向运动带中微元段的应变方程；接着以Kelvin-Voigt微分型应力-应变本构关系模拟带的粘弹性特性，利用Hamilton变分原理推导出运动带的横向和纵向梁振动方程；最后得到端支座分别为铰支座和固定支座时的粘弹性轴向运动带中机械能随时间的变化方程，分析研究了能量变化特性。
关键词：轴向运动带，粘弹性，机械能，动力学建模
中图分类号：U472.43
Modeling and Analyzing of Mechanical Enegetic Change for Viscoelastic Axially Moving Belt
Wang Hongyun1，2
（1.College of Automotive Engineering， South China University of Technology， Guangdong， Guangzhou 510641 ）
（2.Deparment of Electronic Information Engineering， Guangdong Polytechnic Normal University， Guangdong， Guangzhou 510665）
Abstract： The aim of this study was to derive the expression of the temporal variation of the mechanical energy for viscoelastic axially moving belt in order to study the stability of belt drive systems. Firstly， the transverse and longitudinal vibration displacement-strain relation of the material particles of axially moving belt was established. Based on the Kelvin-Voigt viscoelastic constitutive law， the nonlinear dynamic model of viscoelastic axially moving belt was conducted by using the generalized Hamilton’s principle. In the model， the bending stiffness of belt was considered. Lastly， the time-rate of change of mechanical energy for viscoelastic axially moving belt were obtained， and the characteristics of the mechanical energy change were analyzed with the simple supports and fixed supports respectively，
Key Words： axially moving belt， viscoelastic， mechanical energy， modeling
1 前言
带传动是机械传动中重要的传动形式之一，它具有自由变速、远近传动、结构简单、更换方便等特点，被广泛应用于汽车、纺织、家电、轻工等领域。
带传动中的传动带属于轴向运动材料，这类材料大量存在于工程中，如磁带、缆车索道、纺织纤维等。以往在研究轴向运动材料动力特性时建立了两类模型：弦线模型和梁模型。梁模型考虑了材料的弯曲刚度，更接近于实际传动带动力特性[1]。带通常由橡胶、聚酯线绳、玻璃纤维等材料制成，在工作中会呈现粘弹性特性[2，3，4]。为准确描述传动带的粘弹性特性，应选择合适的应力-应变粘弹性本构关系。L. Zhang[2]，Eric M. Moctonsturm[3]和Gregor Cepon[4]等人曾以Kelvin-Voigt微分型本构关系来模拟带的粘弹性特性，在不考虑带的弯曲刚度情况下，建立了弦线模型研究轴向运动带的动力特性。国内陈立群、杨晓东、吴俊等选择积分型本构关系[5]、Leaderman本构关系[6]来描述轴向运动材料的粘弹性特性。
对轴向运动类材料的研究除了集中在建立动力学模型研究其动力特性外，另一颇受关注的研究领域是通过分析机械能随时间的变化来研究系统稳定性特性。J. A. Wickert[7]，A. A. Renshaw[8]等研究了轴向运动弦线和梁的机械能变化，推导出了机械能守恒函数[8]。S.-Y.Lee等[9]研究了弦线和张紧的输流管道在自由边界、固定边界和阻尼边界三种情况下的机械能变化。国内陈立群也对轴向加速、变速运动弦线的机械能变化方程进行了推导[10，11，12]。 以上对轴向运动弦线或梁的机械能变化研究结果均显示：轴向运动材料的机械能变化与材料特性和两端支座形式有关。然而以上研究均没有考虑材料的粘弹性特性。
首先考虑带的横向和纵向振动，推导了轴向运动带中微元段应变方程；接着利用Hamilton变分原理，以Kelvin-Voigt线性微分型应力-应变本构关系模拟带粘弹性特性，推导了轴向运动带的梁模型；并进一步推导出轴向运动带中机械能随时间变化方程，分析了两端分别为固定支座和铰支座时带中机械能变化情况。文中的建模方法，机械能变化的分析结果为粘弹性材料的建模及轴向运动材料的振动控制和稳定性分析提供了依据。
2 粘弹性轴向运动带带动力学建模
2.1微元段应变
图1轴向运动带运动示意图
设均质粘弹性带在距离为 的两支座间以匀速 作轴向运动。带的单位长度质量密度为 ，弹性模量为 ，横截面积为 ，横截面惯性矩为 ，粘弹性系数为 。假设带只在其轴向对称平面内有横向、纵向振动，忽略两种振动间的相互影响。在带的轴向对称平面内建立如图1所示坐标系，其中 轴取带静态、无作用力时位置。
图2 微元段变形前后位置关系图
在带上距左支点（原点） 处取微元段 （如图2所示）。在任意瞬时 ，该微元段的横向和纵向振动位移分别为 、 。设 、 为微元段中间层稳态时的两端点，这两端点由于带的横向和纵向变形（振动）移动到 、 点，微元段变形后长度为 。忽略剪切变形影响，则 、 点的坐标分别为 、 ，其中下角标‘ ’表示参数对位置坐标 的偏微分。计算整理得微元段 由于横向和纵向振动而引起的动应变 为：
（1）
对式（1）进行Taylor展开，保留二次项，省略无穷小项后有：
（2）
式中 为作用在微元段上的弹性动张力，由带的横向和轴向振动引起。当带的纵向振动较小、忽略不计时， ，如文[2，5，6-11]。
当带中有初张力 时，则整个微元段相对静态时的总应变 为：
（3）
式中 为弹性张力，由弹性动张力和初张力两部分组成。
2.2 振动方程
由微元段横向和纵向振动位移得其横向和纵向振动速度、加速度：
， ，
（4）
， 。
上式中：上标‘・’、‘¨’分别表示参数对时间 的一阶、二阶导数；下角标‘ ’表示参数对时间 的偏微分。
设带中应力-应变满足Kelvin-Voigt线性微分型本构关系，即：
（5）
上式中： 为作用于微元段上的粘性张力。
整个轴向运动带的总动能 和势能 分别为：
（6）
式中势能由拉伸应变能和弯曲应变能两部分组成。
非保守力所做虚功为：
（7）
式中 为作用在微元段上的粘性弯矩。
把式（6）、（7）代入Hamilton变分方程 中，经计算、整理得到粘弹性轴向运动带的横向和纵向振动方程：
（8.1） （8）
（8.2）
上式中： 、 分别为微元段横向、纵向加速度引起的惯性力； 、 分别为作用在微元段上的弹性张力和粘性张力在横向和纵向投影的分布力； 、 分别为由弯曲变形引起的作用在微元段上的力在横向投影的分布力。
当不考虑纵向振动时，式（8.1）与文[2]中利用牛顿第二定律建立的粘弹性轴向运动带的横向振动方程相同，且与文[13]中为研究单根带驱动的附件传动系统动力特性而建立的带横向振动方程相同。当不考虑带的粘性特性时，式（8.1）与文[7，8，9]中采用的轴向运动材料横向振动方程相同。
3 粘弹性轴向运动带机械能变化
长为 的粘弹性轴向运动带的总机械能 为：
（9）
将式（9）对时间求导，并将式（8）代入，整理后得粘弹性轴向运动带总机械能随时间的变化率：
（10）
上式中： 为作用在微元段上的弹性弯矩； 、 分别为作用在微元段上的弹性剪切力和粘性剪切力。
分析式（10）有粘弹性轴向运动带的机械能随时间的变化由两部分组成：带两端支座进出的能量和带中部由于粘性阻尼引起的机械能变化。在带的中部，其机械能变化表现为粘性张力与应变速率的乘积和粘性弯矩与微元段的曲率变化率的乘积。
当带两端支座形式不同时，其总的机械能随时间的变化不同[7，8]。以下对两端支座分别为固定支座和铰支座两种情况下讨论粘弹性轴向运动带的机械能变化。
3.1 两端为铰支座
对于两端为铰支座的带，其边界条件为：
（11）
把式（11）代入式（10），整理得：
（12）
分析式（12）有：带两端由于受到铰支座的限制，微元段横向速度的 部分消失，作用在微元段上的张力（包括弹性部分和粘性部分） 和剪切力（包括弹性部分和粘性部分） 对以横向速度（ ）运动的微元段作功；张力 对以纵向速度 运动的微元段作功；在带的中部，其机械能变化表现为粘性张力与应变速率的乘积和粘性弯矩与微元段的曲率变化率的乘积。
当不考虑材料的粘性特性、忽略纵向振动时，式（12）与文[7，8]中的分析结果相同。
3.2 两端为固定支座
对于两端为固支座的带，其边界条件为：
（13）
把式（13）代入方程（10），整理得：
（14）
分析式（14）有：带两端由于受到固定支座的限制，微元段横向速度完全消失；作用在微元段上的张力 （包括弹性部分和粘性部分）对只以纵向速度 运动的微元段作功；弯矩 （包括弹性部分和粘性部分）对微元段作功；在带的中部，其机械能变化表现为粘性张力与应变速率的乘积和粘性弯矩与微元段的曲率变化率的乘积。
当不考虑材料的粘性特性、忽略纵向振动时，式（14）与文[7，8]中的分析结果相同。
4 结论
传动带属于轴向运动类材料，在实际动力传动中，带表现出粘弹性特性，而且具有抗弯曲能力。文中首先推导了考虑横向和纵向振动时轴向运动带中微元段的应变方程。接着以Kelvin-Voigt本构关系模拟带的粘弹性特性，利用Hamilton变分原理推导出运动带的横向和纵向梁振动方程。最后分析研究了当两端支座分别为铰支座和固定支座时的粘弹性轴向运动带中机械能随时间的变化。得出以下结论：
1）引起轴向运动带机械能发生变化的原因包括：由两端支座处进出带的机械能，粘性特性引起带中机械能变化。
2）带中部机械能变化与支座形式无关，只由粘性特性引起。
3）若不考虑粘性特性，轴向运动带的机械能变化只由支座处进出带的机械能决定。
4）文中的研究结果为下一步研究轴向运动带稳定性问题提供了依据。
参考文献
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