由一道北大保送生试题谈起

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在2013年的保送生考试中,一道北大保送生数学试题倍受关注,之所以吸引眼球不是因为这道考题让考生哭爹骂娘,而是因为这道考题的平易近人,成为一道独特的风景线.本文想和同学们一起品味这道试题,希望为同学们带来一点帮助.

题目：

（2013年北大保送生考试题）已知正数a,b,c满足

a

a 1+a

二、灵活多解

此题的解题思路可谓灵活多样,即可以从万能的作差法入手,也可以构造函数利用函数的单调性着手,还可以采用“糖水不等式”模型,利用柯西不等式变式,感兴趣的同学可以继续探索其他解法.

解法1：（作差法）

b 1+b+c 1+c-a 1+a

=b(1+c)(1+a)+c(1+b)(1+a)-a(1+b)(1+c) (1+b)(1+c)(1+a)

=

abc+c(a+b)+(b+c-a) (1+b)(1+a)(1+c)>0.

故a 1+a

c 1+c.

解法2：（构造函数法）

通过观察,不难发现此不等式中a 1+a,

b 1+b,c 1+c结构上都符合函数

f (x)=x 1+x.

我们要证明的不等式等价化为：已知正数a,b,c满足

a

f (a)

因为f (x)=x 1+x=1-1 1+x,所以f (x)在（0，+∞)上单调递增，所以f (b+c)>f (a).

因为f (b)+f (c)=1-(1 1+b+

1 1+c-1)=

1-1-bc (1+b)(1+c)

>1-1-bc 1+b+c>1-1 1+b+c=

f (b+c),

所以f (b)+f (c)>f (b+c)>f (a),即

a 1+a

+c 1+c.

解法3：利用经典“糖水不等式”（若a,b,m∈

R+,且a

分析：因为

a

m>0.由糖水不等式可得

a 1+a

b+c 1+b+c

.再次应用糖水不等式,

b+c 1+b+c

b+c+bc 1+b+c+bc

=b(1+c)+c(1+b) (1+b)(1+c)

=b 1+b+c 1+c.

故

a 1+a

解法4：利用柯西不等式变式（若

ai∈

R,bi>0,

则∑n i=1a2i bi

≥(∑n i=1ai)2

∑n i=1bi

,取等条件ai=λbi）.

b 1+b+c 1+c=

b2 b+b2+

c2 c+c2≥(b+c)2 b+c+b2+c2

>(b+c)2 (b+c)+(b+c)2〖SX)]=1-1 1+b+c

>1-1 1+a

=a 1+a

.

点评:

这道考题容易上手且方法多样,可见命题者为了使考题不偏不怪且多角度灵活性用心良苦.其实不然,此题源于教材.在人教老教材中有习题：在ABC中,求证：

a 1+a

+c 1+c

.如果同学们有仔细阅读教材的好习惯,你会发现在新课改人教B版4-5《不等式选讲》教材中,第34页18题：已知a,b,c为三角形的三条边,求证：

a 1+a,b 1+b,

c 1+c

也可以构成一个三角形.无论是老教材,新教材,这道经典的试题都被作为范例习题呈现.由此可见,即使在保送北大的尖子生的考试中,命题在考查考生能力的同时,也呈现出知识源于课本,回归课本,返璞归真.