例说平面图形的重心位置

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“重力在物体上的作用点叫做物体的重心”，这是物理学对物体重心的定义.

任何一个物体都可看作由很多个质点（物理学中所讲的质点，指的是有一定质量但不占有空间的几何点）所组成，而每个质点都会受到地球吸引力（即重力）的作用，这些质点所受的重力，其效果可以用一个力来代替，即这些力的合力，合力的作用点即为该物体的重心.所以，要确定一个物体重心的位置， 只需确定组成该物体的所有质点所受重力的合力即可——合力的作用点便是我们需要确定的点.

对于平面状的物体来说，假设它由n个质点所组成，并设这n个质点的质量分别为m1，m2，…，mn，将物体置于横轴与水平面平行的铅直平面直角坐标系中，设这n个质点的坐标分别是：（x1，y1）、（x2，y2）…（xn，yn），与地球相比，若物体的尺度不大，组成物体的各质点所受地球的引力（即质点重力），方向可认为是互相平行的.由物理学平行力的合成法则可知，这些质点所受重力之合力的作用点，坐标（x，y）满足：

该坐标点实际上是物体的质心（即物体的质量中心），由上式可知，质心横坐标和纵坐标分别是组成物体各质点的横坐标及纵坐标相对于各质点质量的加权平均数.当各质点所受重力相互平行时，物体的重心与质心重合.若离地球较近的物体尺度很大，比如像月亮那么大，虽然组成物体的各质点所受重力仍竖直向下，但这些均“竖直向下”的力，其方向已不再平行，此时物体的重心与质心通常不再重合.而数学中所讲的几何体的重心，指的是质量分布均匀的物体，各部分所受重力方向均平行的情形，即物体的质心.

一个物体分成再多的部分，每一小部分仍然会占有一定的几何空间，所以，质点只能是一种理想化的物理模型.求一个几何体的重心，通常是将该物体分成有限的几部分，并将这几部分看作重力集中在各部分重心的质点，再利用上述坐标公式确定出整个几何体的重心.

利用物体的重心坐标公式，我们探讨一下几种常见平面图形的重心位置.

1 轴对称图形及中心对称图形的重心

利用轴对称图形的性质及重心坐标公式，可以证明轴对称图形的重心一定在其对称轴上.

如图1，EF是某任意一个轴对称图形的对称轴，由于对称轴两侧的部分是全等形，而几何图形的重心相对于该图形的位置是确定的，所以，这两部分的重心P与Q也关于直线EF对称.以P为坐标原点，PQ为x轴正方向建立平面直角坐标系，设这两部分的质量均为m，并设PQ=l，则Q点的坐标为（l，0），所以，整个轴对称图形的重心坐标（x，y）满足：

利用“轴对称图形的重心在其对称轴上”这一重要结论，我们很容易确定一些轴对称图形的重心位置，比如，线段的重心在线段的中点，矩形的重心在矩形两对角线的交点，圆的重心在该圆的圆心等.

用同样的方法我们可以证明，中心对称图形的重心，在该图形的对称中心.例如，平行四边形的重心，在两条对角线的交点.

2 三角形的重心

如图2，对于任意ABC，以顶点B为坐标原点，AC边的高所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则A、C两点的横坐标相等.设两点的坐标分别为A（x0，y1）和C（x0，y2），则AC=y1-y2（y1>y2）.

从坐标原点起，用（n-1）条间距相等且与y轴平行的直线，将ABC分成n个小梯形（其中第一个为三角形，可视为上底为0的“梯形”）.当n足够大时，各小梯形可看作“矩形”，易知每个小“矩形”的宽为[SX（]x0[]n[SX）]，第i个小“矩形”的长是[SX（]i[]n[SX）]（y1-y2），设ABC的质量为m，则其面密度（即单位面积的图形的质量）：