蜘蛛·蜜蜂·卫星

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乱爬的蜘蛛

平面直角坐标系又称笛卡儿坐标系. 笛卡儿是现代数学的奠基者. 有个故事说他躺在床上，盯着屋顶角乱爬的蜘蛛，于是想到蜘蛛在每一时刻的位置，可以用蜘蛛所在位置处相交的三个互相垂直的平面所确定. 而在二维平面上，如在一张纸上，每一点都可以由在这点相交的两条互相垂直的直线所确定――伟大的平面直角坐标系诞生了.

使世界震惊的是笛卡儿看到，利用他的坐标系，平面上每一点都可以用两个数的有序组来表示. 而一个代数方程f（x，y）=0中的两个变量x，y恰好构成一个有序组，于是每一条曲线通过笛卡儿坐标系表示一个特殊的方程；每一个方程表示一条特殊的曲线. 笛卡儿坐标系的价值在于把代数和几何结合起来而使两者都得到极大的发展，为牛顿创立微积分铺平了道路. 笛卡儿把数学上的两个分支融合为一，从而创立了解析几何，恩格斯把它称为数学的转折点，从此数学发展进入变量数学阶段.

跳舞的蜜蜂

蜜蜂是一种群居的昆虫，它们有共同利用蜜源的习性. 在探蜜和采蜜的过程中，需要传递信息. 动物没有文字和语言，它们是怎么交流信息的呢？

蜜蜂在采蜜前，先派出少数“侦察兵”去寻找开花泌蜜的植物群. 当“侦察兵”发现花后，它们就以舞蹈般的动作来表示食物所在的方位和距离，并引导蜂群前去采集. 蜜蜂跳的一种“8字舞”，不仅表示距离，而且还指明方向（如图1所示）. 在一定时间内的“8字舞”的圈数和腹部摆动的次数，就表示蜂巢到花的距离（具体数据请参见相关科技文献）. 蜜蜂在舞蹈时还利用太阳的角度来指示方向，“太阳角”就是以蜂巢为角的顶点，即极坐标系的极点O，向太阳方向的射线相当于极轴Ox，向花方向的射线相当于极径OP，这时极角∠xOP就标志着花的方向. 如果蜜蜂舞蹈时头朝上，从下往上沿直线飞，这就是说要向着太阳这个方向飞才能找到花.

同步的卫星

科技的迅猛发展，使人类的视角投向太空. 为了实现全球通讯线路的畅通，需要发射三颗地球同步卫星. 在实际中，我们是用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、纬度和经度――极坐标系扩展到三维空间中，形成球坐标系. 球坐标系中的点P用坐标（r，θ，φ）表示，其中r是到球心的距离，θ是距离z轴的角度（称做余纬度或顶角，角度从0到π），φ是半平面xOz到半平面POz的角度（与极坐标系中一样）.

另一方面，与将直角坐标系扩展为三维的方法相似，圆柱坐标系是在二维极坐标系的基础上，增添了第三个用于测量高于平面的点的高度的坐标所形成的. 这第三个坐标通常表示为z，所以圆柱坐标表示为（ρ，θ，z）.

总之，坐标系的建立，解析法思想的应用，把“数”与“形”有机地结合了起来，使几何学的研究变得更加精确、深刻，开创了几何学研究的新篇章.

评

注

解本题时可借助点在直角坐标系中的对称关系进行类比，然后再结合极坐标的特点进行解题. 要留意的是ρ的正负. 另外在不作特别说明的情况下，求点的极坐标时只要写出它的一个极坐标.

例4

据气象台预报，在A市正东方300 km的B处有一台风中心形成，并以每小时40 km的速度向西北方向移动，在距台风中心250 km以内的地区将受其影响. 问：从现在起经过多长时间，台风将影响A市，持续时间多长？

分

析

不妨以点A为极点，正东方向为极轴建立极坐标系，然后表达出台风中心距点A的距离，要求此距离大于等于250 km.

解 建立如图4所示的极坐标系. 设经过t小时台风中心到达点C（如图4），并设点C的坐标为（ρ，θ）．