浅析角平分线在图形组合中的作用
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角平分线在空间与图形这部分占有重要地位，也是解决许多问题的桥梁和纽带.在命题中也易于其它图形组合在一起，构建试题的模型.
一、角平分线与平行线的组合
角平分线的作用是把已知角分成了两个相等的角，而平行线被第三条直线所截后产生了三线八角中存在诸多相等的角联系在一起，建立寻求试题的砌基.
例1 已知如图1所示，AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，则∠2=.
解析1：（利用三角形内角和）
因为AB∥CD，
所以∠2=∠3.
（两直线平行内错角相等）
又因为EG平分∠BEF，
所以∠3=∠4，
所以∠2=∠4=（180°-∠1）÷2=65°.
解析2：（利用两直线平行同旁内角互补）
因为∠1+∠3+∠4=180°，EG是∠BEF的平分线，
所以∠3=∠4=（180°-∠1）÷2=65°.
又因为AB∥CD，
所以∠2=∠3=65°.
变式一：（变图不变题）已知如图2所示,AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF若∠1=50°，则∠2=.
解析：因为AB∥CD，
所以∠BAF=∠1=50°.
因为EG平分∠BEF，
所以∠BEG=∠GEF=25°.
因为AB∥CD，
所以∠2=∠BEG=25°.
变式二：（变题不变图）已知如图3所示，AB、CD被EF所截EG平分∠BEF，∠1=50°，∠2=65°.求证：AB∥CD.
解析：因为∠1=50°，∠2=65°，
所以∠FEG=65°.
因为EG平分∠BEF，
所以∠BEG=∠FEG=65°，
所以∠BEG=∠2，
所以AB∥CD.
例2 已知如图4，直线AB、CD被直线BD所截，BE平分∠ABD.DE平分∠BDC，BEDE于点E.求证:AB∥CD.
解析：因为BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，
所以∠1=∠2，∠3=∠4.
因为BEDE，
所以∠2+∠4=90°，
所以∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
所以AB∥CD.
二、角平分线与三角形的组合
角平分线与三角形的组合更显得重要一些，无论是内角还是外角的平分线都与三角形内角和密切相连，建立诸多中考试题模型及常见试题.
1.三角形两内角平分线交角与第三角的关系
例3 已知，如图5，在ABC中∠B、∠C的平分线相交于P点，问∠P与∠A有怎样的数量关系.
解析：因为BP、CP是∠B、∠C的平分线，
所以∠1=∠2，∠3=∠4，
利用ABC内角和得
∠2+∠4=（180°-∠A）÷2，
利用BPC内角和得
∠2+∠4=180°-∠P，
即（180°-∠A）÷2=180°-∠P，
所以∠P=90°+1/2∠A.
2.三角形两外角平分线交角与第三角的关系
例4 已知，如图6，在ABC中∠B、∠C的平分线相交于P点，问∠P与∠A有怎样的数量关系.
解析1：利用外角和定理.
因为BP、CP是ABC外角的平分线，
所以∠1=∠2，∠3=∠4，
所以∠1+∠3=（180°+∠A）÷2.
【说明：也可这样求∠1+∠3，∠1+∠2+∠3+∠4=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A】
利用BPC内角和得
∠1+∠3=180°-∠P，
即（180°+∠A）÷2=180°-∠P，
所以∠P=90°-1/2∠A.
解析2：利用四边形内角和360°及邻补角的平分线组成的角是90°，可知∠B、∠C的内、外角平分线组成的角互补，即
∠P=180°-（90°+1/2∠A）
=90°-1/2∠A.
3.三角形一内、一外角平分线交角与第三角的关系
例5 已知如图7，在ABC中∠B的平分线和∠C的外角的平分线相交于P点，问与有怎样的数量关系.
解析：因为BP、CP分别是内角∠ABC外角∠ACD的平分线，
所以∠1=∠2，∠3=∠4.
因为∠ACD是ABC的外角，
所以∠3+∠4=∠1+∠2+∠A，
即2∠4=2∠2+∠A.
因为∠4是PBC的外角，
所以∠4=∠P+∠2，
即2∠4=2∠P+2∠2，
所以2∠2+∠A=2∠P+2∠2，
所以2∠P=∠A，
所以∠P=1/2∠A.
三、角平分线与平行线和三角形的组合
角平分线、平行线、三角形的组合易构成等腰三角形，利用等边对等角的知识点构建简单的试题模型.
1.过角平分线的交点作一边的平行线
例6 在ABC中∠B和∠C的平分线相交于P点，过P点作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.若BD+CE=9，则线段DE的长为.
解析：因为BP是∠ABC的平分线，
所以∠1=∠2.
又因为DE∥BC，
所以∠2=∠3，
所以∠1=∠3，即BD=DP.
同理CE=PE，
所以DE=DP+PE=BD+CE=9.
2.过角平分线的交点作两边的平行线
例7 如图9，在ABC中BC=5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线且PD∥AB，PE∥AC，则PDE的周长是.
解析：因为ＰＢ是∠ABC的平分线，
所以∠1=∠2.
又因为PD∥AB，所以∠1=∠3，
故∠2=∠3，所以BD=DP.
同理CE=PE，
所以PDE的周长=DP+DE+PE=BD+DE+EC=5 cm.
四、角平分线与平行四边形的组合
角平分线与平行四边形的组合，也可以说是与平行线组合的升级，变为封闭图形的组合，充分体现角的转换.
例8 如图10，平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC于点E，则线段BE、CE长度.
解析：因为AE平分∠BAD，
所以∠1=∠2.
又因为AD∥BC，
所以∠2=∠3，
所以BE=AB=3CE=5-3=2.
例9 如图11,平行四边形ABCD中，AB=4，AD=7，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=.
解析：因为BE是∠ABC的平分线，∠1=∠2.
因为AD∥BC，所以∠2=∠3，
所以∠1=∠3.
故AE=AB=4.
又因为AD∥BC，
所以∠2=∠4，AB∥CD，
所以∠1=∠F，故∠4=∠F，
所以DF=DE=AD-AE=7-4=3.
总之，角平分线在知识的构建中有一定的作用，是处理问题、研究问题的工具.借助于转换思想、等量代换等来解决一些关于图形组合问题，形成良好的总结性知识.
（初二）
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