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纸张折叠问题

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【问题】如图1,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点 M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P,连接EP.

(1)如图2,若M为AD边的中点,

①AEM的周长=cm;

②求证:EP=AE+DP;

(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合),PDM的周长是否发生变化?请说明理由.

【命题意图】本题是2010年徐州市的一道中考试题,它以折纸问题为背景,着重考查初中几何的核心内容:轴对称图形的性质、梯形的性质、直角三角形斜边上中线的性质、三角形相似的条件和性质以及勾股定理,同时也考查同学们对所学数学知识灵活应用的能力.

【解题指导】本题的三个问题设计新颖,由浅入深,层层推进,思考问题的方法由特殊到一般.第(1)问,直接由折叠的性质可知AE+EM=AE+BE,所以AEM的周长=2+4=6;(2)取EP的中点G,连接MG,可知MG既是梯形AEPD的中位线,又是RtMEP的中线,由梯形和直角三角形的中线的性质可证;同时,也可以先应用勾股定理求得RtEAM中的边AE的长度,再由图形中的相似三角形求得DP以及EP的长,从而揭示三条线段之间的数量关系;(3)设AM=xcm,利用勾股定理求得AE,由AEM与DMP相似,应用相似三角形的性质求得PDM的周长,为一个定值.

【解题过程】(1)①6.

②取EP的中点G,连接MG.

在梯形AEPD中,M、G分别是AD、EP的中点,

MG=■(AE+DP).

由折叠,得:∠EMP=∠B=90°,

又 G为EP的中点, MG=■EP,

EP=AE+DP.

(2)PMD的周长保持不变.

证明:设AM=xcm,则DM=(4-x)cm.

在RtEAM中,由AE2+x2=(4-AE)2,可得AE=2-■x2.

∠AME+∠AEM=90°,∠AME+∠PMD=90°,

∠AEM=∠PMD.

又 ∠A=∠D=90°, AEM∽DMP,

■=■,即■=■,

CPMD=■・(4+x)=8cm.

PMD的周长保持不变.

【追根溯源】本题类似于苏科版《数学》八年级上册教材第111页第20题:

在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=8.

(1)将矩形纸片沿BD折叠,使点A落在点E处(如图3).设DE与BC相交于点F,求BF的长;

(2)将矩形纸片折叠,使点B与点D重合(如图4),求折痕GH的长.

【变式拓展】

小明尝试着将矩形纸片ABCD(如图5,AD>CD)沿过A点的直线折叠,使得B点落在AD边上的点F处,折痕为AE(如图6);再沿过D点的直线折叠,使得C点落在DA边上的点N处,E点落在AE边上的点M处,折痕为DG(如图7).如果第二次折叠后,M点正好在∠NDG的平分线上,那么矩形ABCD长与宽的比值为 .

【参考答案】■.

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