纸张折叠问题

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【问题】如图1，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．

（1）如图2，若M为AD边的中点，

①AEM的周长=cm；

②求证：EP=AE+DP；

（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，PDM的周长是否发生变化？请说明理由．

【命题意图】本题是2010年徐州市的一道中考试题，它以折纸问题为背景，着重考查初中几何的核心内容：轴对称图形的性质、梯形的性质、直角三角形斜边上中线的性质、三角形相似的条件和性质以及勾股定理，同时也考查同学们对所学数学知识灵活应用的能力．

【解题指导】本题的三个问题设计新颖，由浅入深，层层推进，思考问题的方法由特殊到一般．第（1）问，直接由折叠的性质可知AE+EM=AE+BE，所以AEM的周长=2+4=6；（2）取EP的中点G，连接MG，可知MG既是梯形AEPD的中位线，又是RtMEP的中线，由梯形和直角三角形的中线的性质可证；同时，也可以先应用勾股定理求得RtEAM中的边AE的长度，再由图形中的相似三角形求得DP以及EP的长，从而揭示三条线段之间的数量关系；（3）设AM=xcm，利用勾股定理求得AE，由AEM与DMP相似，应用相似三角形的性质求得PDM的周长，为一个定值．

【解题过程】（1）①6．

②取EP的中点G，连接MG．

在梯形AEPD中，M、G分别是AD、EP的中点，

MG=■(AE+DP)．

由折叠，得：∠EMP=∠B=90°，

又 G为EP的中点， MG=■EP，

EP=AE+DP．

（2）PMD的周长保持不变．

证明：设AM=xcm，则DM=(4-x)cm．

在RtEAM中，由AE2+x2=(4-AE)2，可得AE=2-■x2．

∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠PMD=90°，

∠AEM=∠PMD．

又 ∠A=∠D=90°， AEM∽DMP，

■=■，即■=■，

CPMD=■・(4+x)=8cm．

PMD的周长保持不变．

【追根溯源】本题类似于苏科版《数学》八年级上册教材第111页第20题：

在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．

（1）将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处(如图3)．设DE与BC相交于点F，求BF的长；

（2）将矩形纸片折叠，使点B与点D重合(如图4)，求折痕GH的长．

【变式拓展】

小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图5，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图6）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图7）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为 ．

【参考答案】■．

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